Integrasjon

[mar_nil]

Hei!

Er det noen som klarer å løse denne?

[symbol:integral] x / (x+1) dx

[Andreas345]

[tex]\int \frac{x}{x+1} \ dx \Leftrightarrow \int 1-\frac{1}{x+1} \ dx [/tex]

Ved polynomdivisjon.

[mar_nil]

Hmm..

Ja, ser de har gjort det samme i fasiten. Men klarer ikke å forstå hvordan de uttrykkene blir like.

Klarer du å forklare?

Og hva gjør du for å få så fine formler?

[Andreas345]

Er vanskelig å få til polynomdivisjon i tex. Men du kan benytte deg av trikset ved å legge til og trekke fra 1.

[tex]\frac{x}{x+1}=\frac{(x+1)-1}{x+1}=1-\frac{1}{x+1}[/tex]

[tex]1-\frac{1}{x+1}=\frac{x+1}{x+1}-\frac{1}{x+1}=\frac{x+1-1}{x+1}=\frac{x}{x+1}[/tex]

For å få så fine formler benytter jeg meg av tex:

http://www.diskusjon.no/index.php?showtopic=1080165

[Realist1]

For å få så fine formler benytter jeg meg av tex:

http://www.diskusjon.no/index.php?showtopic=1080165

Sykt nice link.

[mar_nil]

Takker for svar. Nå har jeg fått sett på polynomdivisjon, og det ser greit ut. Hadde aldri hørt om det før nå.

MEN.. [symbol:integral] 1 / (x+1) = ln(x-1)

Gjelder dette uansett hva som står under brøken?

[symbol:integral] 1 / (x^2+1) = ln(x^2-1)

blir det riktig? har en følelse av at det ikke blir det. må man gange med kjernen som i derivasjon?

[Realist1]

Du kan jo prøve å derivere svaret ditt, og se om det stemmer.

[mar_nil]

(ln(x^2-1))' = 2x/x^2-1

jepp ser at det ikke stemmer..

men hva gjør man med ∫ 1 / (x^2+1) da ?

[Realist1]

Fasit:
[tex]\int \frac{1}{x^2 + 1} \mathrm{d}x = \tan ^{-1} (x) + \mathrm{C}[/tex]

[moth]

[tex]\mathrm{I}=\int\frac{1}{x^2 + 1}\mathrm{dx}[/tex]

[tex]x=tan\theta\:\to\:\theta=arctan(x)[/tex]

[tex]\int\frac{\mathrm{dx}}{tan^2\theta+1}[/tex]

[tex]\mathrm{dx}=(tan^2\theta+1)\mathrm{d\theta}[/tex]

[tex]\int\frac{tan^2\theta+1}{tan^2\theta+1}\mathrm{d\theta}=\int\mathrm{d\theta}=\theta+\mathrm{C}[/tex]

[tex]\mathrm{I}=arctan(x)+\mathrm{C}[/tex]


[tex]\int\frac1{x^2-1}dx[/tex] kan skrives om til [tex]\frac1{(x-1)(x+1)}dx[/tex] også kan du bruke delbrøkoppspaltning eller du

kan sette [tex]x=sin\theta[/tex] også bruke at [tex]sin^2\theta-1=-cos^2\theta[/tex]

[Andreas345]

[tex]\int \frac{1}{x+1} dx[/tex]

Bruk substitusjon, [tex]u=x+1 \Rightarrow du=dx[/tex]

[tex]\int \frac{1}{u} du=ln|u|+C=ln|x+1|+C[/tex]