Jeg driver å leker med krumming, krumme rom osv for tida, og jeg tenkte "hei, det hadde vært morsomt å finne geodesiske baner i polare koordinater". Jeg fant fram geodesilikningen:
[tex]\frac{\rm{d}^2x^{\mu}}{\rm{d}t^2}+\Gamma^{\mu}_{\nu\sigma}\frac{\rm{d}x^{\nu}}{\rm{d}t}\frac{\rm{d}x^{\sigma}}{\rm{d}t}=0[/tex]
plugget inn metrikken for polare koordinater; [tex]g_{ij}=\left[\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & r^2\end{matrix}\right][/tex] og fikk tilbake to differensialligninger som beskriver geodesiske baner i disse koordinatene. De er som følger:
[tex]\frac{\rm{d}^2r}{\rm{d}t^2}-r\frac{\rm{d}^2\theta}{\rm{d}t^2}=0 \\ \frac{\rm{d}^2\theta}{\rm{d}t^2}+2r^3\frac{\rm{d}r\rm{d}\theta}{\rm{d}t^2}=0[/tex]
Disse er overhodet ikke mulige for meg å løse generellt. Alt jeg hark unnet gjøre er å foreslå baner og se om de oppfyller ligningene. Finnes en analytisk lukket løsning for ligningssettet? Vet noen om en kalkulator som løser settet?
Beinharde diffliknigner
Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Man kan komme et lite stykke på vei.espen180 wrote: [tex]\frac{\rm{d}^2r}{\rm{d}t^2}-r\frac{\rm{d}^2\theta}{\rm{d}t^2}=0 \\ \frac{\rm{d}^2\theta}{\rm{d}t^2}+2r^3\frac{\rm{d}r\rm{d}\theta}{\rm{d}t^2}=0[/tex]
Du kan først forenkle litt ved å sette [tex]\dot \theta=s[/tex] Da får vi
[tex]\ddot{r}-r\dot{s}=0[/tex]
[tex]\dot{s}+0.5\dot{r^4}s=0[/tex]
Ser vi på den andre ligningen kan den skrives om til
[tex]\frac{\dot{s}}{s}=-0.5\dot{r^4}[/tex] og videre
[tex]\dot{ln(s)}=\dot{-\frac12 r^4}[/tex] Dermed kan vi integrere ligningen og dermed uttrykke s ved r:
Vi får altså
[tex]ln(s)=-\frac12 r^4 + C[/tex] der C er en konstant. Altså må
[tex]s=Ke^{-\frac12 r^4}[/tex]
Deriverer vi denne implisitt mhp t, og setter inn i den første ligningen, får vi en ikkelineær ligning som bare avhenger av r(t). Denne ser for meg ut til å være vanskelig å løse analytisk, men men.
Da får vi
[tex]\frac{ds}{dt}=\frac{ds}{dr}\frac{dr}{dt}=-2Kr^3e^{-\frac12r^4}\frac{dr}{dt}[/tex]
Setter det inn, og ligning nr 1 blir til
[tex]\frac{d^2r}{dt^2}+2Kr^4e^{-\frac12r^4}\frac{dr}{dt}=0[/tex]
Huttetu...
Satte uttrykket inn i Wolfram Alpha for K=1:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=y% ... 9*y%27%3D0
[tex]\frac{ds}{dt}=\frac{ds}{dr}\frac{dr}{dt}=-2Kr^3e^{-\frac12r^4}\frac{dr}{dt}[/tex]
Setter det inn, og ligning nr 1 blir til
[tex]\frac{d^2r}{dt^2}+2Kr^4e^{-\frac12r^4}\frac{dr}{dt}=0[/tex]
Huttetu...
Satte uttrykket inn i Wolfram Alpha for K=1:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=y% ... 9*y%27%3D0
Det er verdt å merke seg at
[tex]r^{,,}=f(r,r^,)[/tex], altså ikke på den aller "verste" formen.
Sett [tex]v=r^,[/tex]. Da blir
[tex]r^{,,}=v^,=v\frac{dv}{dr}=f(r,v)[/tex], altså
[tex]\frac{dv}{dr}=\frac{1}{v}f(r,v)[/tex] som er en 1.ordens ligning.
Dette ser ut til å kunne forenkles videre...
[tex]r^{,,}=f(r,r^,)[/tex], altså ikke på den aller "verste" formen.
Sett [tex]v=r^,[/tex]. Da blir
[tex]r^{,,}=v^,=v\frac{dv}{dr}=f(r,v)[/tex], altså
[tex]\frac{dv}{dr}=\frac{1}{v}f(r,v)[/tex] som er en 1.ordens ligning.
Dette ser ut til å kunne forenkles videre...
Vi får at
[tex]\frac{dv}{dr}=-2Kr^4e^{-\frac12 r^4}[/tex] og da kan vi finne v(r) ved integrasjon.
Til slutt finner vi r ut fra ligningen
[tex]r^,=v(r)[/tex] som er separabel så
[tex]\int \frac{dr}{v(r)}=\int \,dt[/tex]
Du kan prøve å beregne den..
EDIT: Nåja, det blir et kjipt uttrykk for v(r). Man kan ihvertfall finne en formel for en implisitt løsning.
Ifølge wolfram blir
[tex]v(r)=-0.5 e^{-0.5 r^4} r-0.148651 \Gamma{(0.25,0.5 r^4)}+C[/tex]
[tex]\frac{dv}{dr}=-2Kr^4e^{-\frac12 r^4}[/tex] og da kan vi finne v(r) ved integrasjon.
Til slutt finner vi r ut fra ligningen
[tex]r^,=v(r)[/tex] som er separabel så
[tex]\int \frac{dr}{v(r)}=\int \,dt[/tex]
Du kan prøve å beregne den..
EDIT: Nåja, det blir et kjipt uttrykk for v(r). Man kan ihvertfall finne en formel for en implisitt løsning.
Ifølge wolfram blir
[tex]v(r)=-0.5 e^{-0.5 r^4} r-0.148651 \Gamma{(0.25,0.5 r^4)}+C[/tex]
Uff, der har vi en gammafunksjon ja. Så vidt jeg husker har den et ganske kjipt integral som definisjon. Å integrere dette videre for å finne r(t) blir vel heller ikke altfor pent...
Ser ut som difflikningsystemet over hadde en feil i seg.
Den skulle visst være
[tex]\ddot{r}-r\ddot{\theta}=0 \\ \ddot{\theta}+\frac2r\dot{r}\dot{\theta}=0[/tex]
Prøver å løse den:
[tex]s=\dot{\theta} \\ \ddot{r}-r\dot{s}=0 \\ \dot{s}+\frac2r\dot{r}s=0[/tex]
Andre ligning blir
[tex]\frac{\dot{s}}{s}=-2\dot{\ln r} \\ \dot{\ln s}=-2\dot{\ln r} \\ \ln s = -2\ln r \\ s=r^{-2}[/tex]
Dermed blir
[tex]\dot{s}=-2r^{-3} \dot{r}[/tex]
Så ligningene blir til
[tex]\ddot{r}+2r^{-2}\dot{r}=0 \\ -2r^{-3}\dot{r}+2r^{-3}\dot{r}=0[/tex]
Ligning 2 blir 0=0 (triviellt).
Ligning 1 gjenstår.
Wolfram Alpha gir
[tex]r(t)= -\frac{\left(2 \left(W\left(\pm\frac12 \sqrt{e^{c_1^2 \left(-\left(c_2+t\right)\right)-2}}\right)+1\right)\right)}{c_1}[/tex]
Der W er omegafunksjonen (productlog).
Den skulle visst være
[tex]\ddot{r}-r\ddot{\theta}=0 \\ \ddot{\theta}+\frac2r\dot{r}\dot{\theta}=0[/tex]
Prøver å løse den:
[tex]s=\dot{\theta} \\ \ddot{r}-r\dot{s}=0 \\ \dot{s}+\frac2r\dot{r}s=0[/tex]
Andre ligning blir
[tex]\frac{\dot{s}}{s}=-2\dot{\ln r} \\ \dot{\ln s}=-2\dot{\ln r} \\ \ln s = -2\ln r \\ s=r^{-2}[/tex]
Dermed blir
[tex]\dot{s}=-2r^{-3} \dot{r}[/tex]
Så ligningene blir til
[tex]\ddot{r}+2r^{-2}\dot{r}=0 \\ -2r^{-3}\dot{r}+2r^{-3}\dot{r}=0[/tex]
Ligning 2 blir 0=0 (triviellt).
Ligning 1 gjenstår.
Wolfram Alpha gir
[tex]r(t)= -\frac{\left(2 \left(W\left(\pm\frac12 \sqrt{e^{c_1^2 \left(-\left(c_2+t\right)\right)-2}}\right)+1\right)\right)}{c_1}[/tex]
Der W er omegafunksjonen (productlog).