Kompleks faktorisering

[Wentworth]

[tex]z^5+1[/tex]

Prøvde å finne kompleks faktorisering først som følger:
[tex]z^5=-1[/tex]

av denne ser vi at (z+1) er en løsning. De andre finner jeg slik:

r=1

gir vinkel [tex]\: \frac{\pi}{5}[/tex]

Dermed :
1.
[tex]e^{\frac{i \pi}{5}}[/tex]

Observerer [tex]\: e^{\frac{2\pi}{5}}[/tex], ganger denne med den 1. og får:

2.
[tex]e^{\frac{i 3\pi}{5}}[/tex]

ganger 2. med observanten og får:

3.
[tex]e^{i \pi}[/tex]

ganger 3. med observanten og får:

4.
[tex]e^{\frac{i 7\pi}{5}}[/tex]

Jeg får da en komplek faktorisering som følger som jeg kaller for A:

A:
[tex](z+1) \cdot (z-e^{\frac{i \pi}{5}}) \cdot (z-e^{\frac{i 3\pi}{5}}) \cdot (z-e^{i \pi}) \cdot (z- e^{\frac{i 7\pi}{5}})[/tex]

Men i fasiten står det:
Fasiten:
[tex](z+1) \cdot (z-e^{\frac{i \pi}{5}}) \cdot (z-e^{\frac{i 3\pi}{5}}) \cdot (z- e^{\frac{i 7\pi}{5}}) \cdot (z-e^{\frac{i 9\pi}{5})[/tex]

Er det A eller fasiten som er rett?

[Gustav]

Fasiten er rett. Jeg skjønner ikke helt måten du løser dette på, men det mest lettvinte er denne metoden:

[tex]z^5=-1=e^{\pi i+2\pi k i}[/tex]. Tar vi femterota blir

[tex]z=e^{\frac{\pi}{5}i+\frac{2\pi k i}{5}}[/tex] for k mod (5) som er ekvivalent med fasit.

[Wentworth]

Ja, dette er en enkel formel for å løse slike likninger.Jeg kom foresten på riktig svar med metoden over, det var bare det at [tex]\: (z-e^{i \pi})=(z+1) \:[/tex], men det har jo jeg oppført som første ledd i A. Dermed gjenstod det bare å gange [tex]\: e^{\frac{i 7\pi}{5}} \:[/tex] med [tex]\: \frac{2\pi}{5}\:[/tex] for å få [tex]\: (z-e^{\frac{9\pi}{5}})\:[/tex] som er den siste løsningen for denne likningen.Så metoden min er også rett, men formelen du viser til kan man bruke vel etter smak og behag. Thx man!