Har litt problemer med å derivere dette stykket her.
Spesielt med tanke på algebraen på slutten og fin føring.
Noen tips til hvordan man skal føre dette stykket ordentlig, og tips til hvordan jeg fikser algebraen ?
[tex] f\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{{\cos \left( x \right)\sqrt {x + 4} }}[/tex]
[tex] \frac{u}{v} = \frac{u^{\prime}v - uv^{\prime}}{v^2}[/tex]
[tex] u = {x^2}{\rm{ and }}v = \cos \left( x \right)\sqrt {x + 4}[/tex]
[tex] u^{\prime} = 2x...[/tex]
[tex] \left( {fg} \right)^{\prime} = f^{\prime}g + fg^{\prime}[/tex]
[tex] f = \cos \left( x \right){\rm{ and }}\sqrt {x + 4} = g[/tex]
[tex] h\left( {p\left( x \right)} \right) = h^{\prime}\left( {p\left( x \right)} \right)p^{\prime}\left( x \right) [/tex]
[tex] h\left( x \right) = p{\left( x \right)^{1/2}}{\rm{ and p}}\left( x \right) = x + 4 [/tex]
[tex] h^{\prime}\left( x \right) = \frac{1}{{2p\left( x \right)}}{\rm{ and p^{\prime}}}\left( x \right) = 1 [/tex]
[tex] h^{\prime}\left( x \right) = \frac{1}{{2\sqrt {x + 4} }}{\rm{ }}[/tex]
[tex]f^{\prime} = - \sin \left( x \right) [/tex]
[tex] \left( {fg} \right)^{\prime} = \left( {\cos \left( x \right)} \right)^{\prime}\left( {\sqrt {x + 4} } \right) + \cos \left( x \right)\left( {\sqrt {x + 4} } \right)^{\prime} [/tex]
[tex] \left( {fg} \right)^{\prime} = - \sin \left( x \right)\left( {\sqrt {x + 4} } \right) + \cos \left( x \right)\left( {\frac{1}{{2\sqrt {x + 4} }}} \right) [/tex]
[tex] v^{\prime} = - \frac{{2\sin \left( x \right)x + 8\cos \left( x \right) - \cos \left( x \right)}}{{2\sqrt {x + 4} }} [/tex]
[tex] \frac{d}{{dx}}\frac{u}{v} = \frac{{u^{\prime}v - uv^{\prime}}}{{{v^2}}} [/tex]
[tex] \frac{d}{{dx}}\frac{u}{v} = \frac{{\left( {{x^2}} \right)^{\prime}\left( {\cos \left( x \right)\sqrt {x + 4} } \right) - \left( {{x^2}} \right)\left( {\cos \left( x \right)\sqrt {x + 4} } \right)^{\prime}}}{{{{\left( {\cos \left( x \right)\sqrt {x + 4} } \right)}^2}}} [/tex]
[tex] f^{\prime}(x)= \frac{{\left( {2x} \right)\left( {\cos \left( x \right)\sqrt {x + 4} } \right) - \left( {{x^2}} \right)\left( { - \frac{{2\sin \left( x \right)x + 8\cos \left( x \right) - \cos \left( x \right)}}{{2\sqrt {x + 4} }}} \right)}}{{{{\left( {\cos \left( x \right)\sqrt {x + 4} } \right)}^2}}}[/tex]
Så er dette rett ? Eventuelt hva gjør jeg videre for å rydde opp svaret mitt.
Vanskelig derivasjon
Moderators: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga
Er dette VGS-pensum? Skal prøve å ta den jeg også, men slo den opp i WolframAlpha først.
Link: http://www.wolframalpha.com/input/?i=x% ... %2B4%29%29
Nederst på siden er Derivative, med Show Steps.
Link: http://www.wolframalpha.com/input/?i=x% ... %2B4%29%29
Nederst på siden er Derivative, med Show Steps.
Slike likhetstegn bør du i alle fall unngå for å få full score.Nebuchadnezzar wrote:Noen tips til hvordan man skal føre dette stykket ordentlig, og tips til hvordan jeg fikser algebraen ?
[tex] \frac{u}{v} = \frac{u^{\prime}v - uv^{\prime}}{v^2}[/tex]
Er det bare meg som synes dette innlegget ser tomt ut?!Realist1 wrote:Er dette VGS-pensum? Skal prøve å ta den jeg også, men slo den opp i WolframAlpha først.
Link: http://www.wolframalpha.com/input/?i=x% ... %2B4%29%29
Nederst på siden er Derivative, med Show Steps.
Etter ganske mye regning og strev kom jeg frem til følgende:
[tex]f^\prime (x) \; = \; \frac{3x^2 + 16x + 2x\tan{x}(x+4)}{2\cos{x}(x+4)\sqrt{x+4}} \; = \; \frac{2x + x\tan{x}}{\cos{x}\sqrt{x+4}} - \frac{x^2}{2\cos{x}(x+4)^{\frac32}}[/tex]
Dette plottet jeg inn i WolframAlpha her og her.
Jeg tok meg friheten til å plotte din løsning også inn i dette geniale programmet (trakk sammen en ØRLITEN smule, som du ser, men jeg håper da ikke jeg har gjort noe feil i den sammentrekningen):
Grafen til denne funksjonen kan sees her.
Som du ser er den forskjellig fra min.
Deretter tok jeg WolframAlphas fasitsvar på oppgaven, og tegnet grafen her.
Det ser med andre ord ut til at både du og jeg har feil. Hva det kommer av vet jeg ikke, jeg orker ikke å gå gjennom noen av de lange løsningene nå uansett.
Skal skumme gjennom min egen løsning og se om jeg finner noe store feil, men det får holde. Veldig spesiell oppgave, ja, definitivt.
[tex]f^\prime (x) \; = \; \frac{3x^2 + 16x + 2x\tan{x}(x+4)}{2\cos{x}(x+4)\sqrt{x+4}} \; = \; \frac{2x + x\tan{x}}{\cos{x}\sqrt{x+4}} - \frac{x^2}{2\cos{x}(x+4)^{\frac32}}[/tex]
Dette plottet jeg inn i WolframAlpha her og her.
Jeg tok meg friheten til å plotte din løsning også inn i dette geniale programmet (trakk sammen en ØRLITEN smule, som du ser, men jeg håper da ikke jeg har gjort noe feil i den sammentrekningen):
Grafen til denne funksjonen kan sees her.
Som du ser er den forskjellig fra min.
Deretter tok jeg WolframAlphas fasitsvar på oppgaven, og tegnet grafen her.
Det ser med andre ord ut til at både du og jeg har feil. Hva det kommer av vet jeg ikke, jeg orker ikke å gå gjennom noen av de lange løsningene nå uansett.
Skal skumme gjennom min egen løsning og se om jeg finner noe store feil, men det får holde. Veldig spesiell oppgave, ja, definitivt.
Det som i alle fall er helt klart er at:
[tex]f^\prime (x) = \frac{u^\prime v - uv^\prime}{v^2}[/tex]
Der:
[tex]u = x^2 \ \ \ \ \ \ \ \ v = \cos{(x)}\sqrt{x+4}[/tex]
[tex]u^\prime = 2x \ \ \ \ \ \ \ v^\prime = \frac{\cos{(x)}}{2\sqrt{x+4}} - \sin{(x)}\sqrt{x+4}[/tex]
Så kan jo noen andre prøve å trekke sammen herfra, kanskje.
Forøvrig veldig merkelig at jeg har to innlegg som ser blanke ut i denne tråden, i alle fall hos meg. Men dersom jeg trykker Sitér på dem, så kommer teksten opp.
[tex]f^\prime (x) = \frac{u^\prime v - uv^\prime}{v^2}[/tex]
Der:
[tex]u = x^2 \ \ \ \ \ \ \ \ v = \cos{(x)}\sqrt{x+4}[/tex]
[tex]u^\prime = 2x \ \ \ \ \ \ \ v^\prime = \frac{\cos{(x)}}{2\sqrt{x+4}} - \sin{(x)}\sqrt{x+4}[/tex]
Så kan jo noen andre prøve å trekke sammen herfra, kanskje.
Forøvrig veldig merkelig at jeg har to innlegg som ser blanke ut i denne tråden, i alle fall hos meg. Men dersom jeg trykker Sitér på dem, så kommer teksten opp.
Shitt au, når jeg først er i siget kan jeg jo skrive ned hvordan jeg har tenkt. Grenser til spamming dette her nå, men
Vi har altså at:
[tex]f^\prime (x) = \frac{u^\prime v - uv^\prime}{v^2}[/tex]
Jeg lagde dette lille oppsettet:
[tex]u^\prime v \; = \; 2x\cos{(x)}\sqrt{x+4}[/tex]
[tex]uv^\prime \; = \; -x^2\sin{(x)}\sqrt{x+4} + \frac{x^2 \cos{(x)}}{2\sqrt{x+4}}[/tex]
[tex]v^2 = (x+4)\cos ^2{(x)}[/tex]
Ganske enkelt hittil, så det bør ikke være noe feil med dette, håper jeg. Har ikke dobbeltsjekket.
Så tar jeg KUN for meg telleren i [tex]f^\prime (x)[/tex], altså bare u'v-uv'.
Dette gir:
[tex]\text{TELLER:} \\ 2x\cos{(x)}\sqrt{x+4} + x^2 \sin{(x)}\sqrt{x+4} - \frac{x^2 \cos{(x)}}{2\sqrt{x+4}}[/tex]
Setter x(x+4)*cos(x) alene. Vet ikke helt hvorfor jeg dro ut den ene x-en, men jeg har nå gjort det i kladden, så jeg bare skriver av. Orker ikke å begynne å tenke nå.
[tex]\text{TELLER:} \\ x (x+4) \cos{(x)}\left(\frac{2}{\sqrt{x+4}} + \frac{x\tan{(x)}}{\sqrt{x+4}} - \frac{x}{2(x+4)\sqrt{x+4}}\right)[/tex]
Ettersom NEVNEREN i f'(x) er (x+4)cos[sup]2[/sup](x), kan vi stryke (x+4)cos(x) i teller og nevner, og vi står igjen med:
[tex]f^\prime (x) = \frac{x\left(\frac{2 + x\tan{(x)}}{\sqrt{x+4}} - \frac{x}{2(x+4)\sqrt{x+4}}\right)}{\cos{(x)}}[/tex]
Fortsetter å behandle telleren for seg selv.
Gjør det til én hel brøk med fellesnevner 2*(x+4)[sup]3/2[/sup]:
OG BLÆÆÆ, nå ser jeg at jeg har gjort feil i kladden her. Den x-en som sto utenfor parantesen. Ganget den inn igjen, og fikk altså 2x og x^2 som tellere, men glemte å gange med xtan(x). BLÆÆÆ. Fortsetter uansett nå, så får vi se hva jeg ender opp med.
[tex]\text{TELLER:} \\ \frac{2x + x^2 \tan{(x)}}{\sqrt{x+4}} - \frac{x^2}{2(x+4)\sqrt{x+4}} \\ \ \\ = \; \frac{4x(x+4) + 2x^2(x+4)\tan{(x)} - x^2}{2(x+4)\sqrt{x+4}} \\ \ \\ = \; \frac{4x^2 + 16x + \tan{(x)}(2x^3 + 8x^2) - x^2}{2(x+4)\sqrt{x+4}} \\ \ \\ = \; \frac{3x^2 + 16x + \tan{(x)}(2x^3 + 8x^2)}{2(x+4)\sqrt{x+4}}[/tex]
Når vi vet at dette er telleren i f'(x), og nevneren bare er cos(x), er det jo bare å sette cos(x) rett inn i tellerens nevner. Dermed får vi:
[tex]f^\prime (x) \; = \; \frac{3x^2 + 16x + 2x^2 \tan{(x)}(x+4)}{2\cos{(x)}(x+4)\sqrt{x+4}}[/tex]
som også kan skrives som:
[tex]f^\prime (x) \; = \; \frac{3x^2}{2\cos{(x)}(x+4)^{\frac32}} + \frac{8x}{\cos{(x)}(x+4)^{\frac32}} + \frac{x^2 \tan{(x)}}{\cos{(x)}\sqrt{x+4}}[/tex].
Nå skal jeg sjekke om DETTE ble riktig da.
....
AHHH, se der, ja! Sykt drit at den slurvefeilen kostet meg 2 timer søvn, menmen. Endelig kom jeg fram til et riktig svar. Og da kan jeg i det minste sove GODT! Heh.
Vi har altså at:
[tex]f^\prime (x) = \frac{u^\prime v - uv^\prime}{v^2}[/tex]
Jeg lagde dette lille oppsettet:
[tex]u^\prime v \; = \; 2x\cos{(x)}\sqrt{x+4}[/tex]
[tex]uv^\prime \; = \; -x^2\sin{(x)}\sqrt{x+4} + \frac{x^2 \cos{(x)}}{2\sqrt{x+4}}[/tex]
[tex]v^2 = (x+4)\cos ^2{(x)}[/tex]
Ganske enkelt hittil, så det bør ikke være noe feil med dette, håper jeg. Har ikke dobbeltsjekket.
Så tar jeg KUN for meg telleren i [tex]f^\prime (x)[/tex], altså bare u'v-uv'.
Dette gir:
[tex]\text{TELLER:} \\ 2x\cos{(x)}\sqrt{x+4} + x^2 \sin{(x)}\sqrt{x+4} - \frac{x^2 \cos{(x)}}{2\sqrt{x+4}}[/tex]
Setter x(x+4)*cos(x) alene. Vet ikke helt hvorfor jeg dro ut den ene x-en, men jeg har nå gjort det i kladden, så jeg bare skriver av. Orker ikke å begynne å tenke nå.
[tex]\text{TELLER:} \\ x (x+4) \cos{(x)}\left(\frac{2}{\sqrt{x+4}} + \frac{x\tan{(x)}}{\sqrt{x+4}} - \frac{x}{2(x+4)\sqrt{x+4}}\right)[/tex]
Ettersom NEVNEREN i f'(x) er (x+4)cos[sup]2[/sup](x), kan vi stryke (x+4)cos(x) i teller og nevner, og vi står igjen med:
[tex]f^\prime (x) = \frac{x\left(\frac{2 + x\tan{(x)}}{\sqrt{x+4}} - \frac{x}{2(x+4)\sqrt{x+4}}\right)}{\cos{(x)}}[/tex]
Fortsetter å behandle telleren for seg selv.
Gjør det til én hel brøk med fellesnevner 2*(x+4)[sup]3/2[/sup]:
OG BLÆÆÆ, nå ser jeg at jeg har gjort feil i kladden her. Den x-en som sto utenfor parantesen. Ganget den inn igjen, og fikk altså 2x og x^2 som tellere, men glemte å gange med xtan(x). BLÆÆÆ. Fortsetter uansett nå, så får vi se hva jeg ender opp med.
[tex]\text{TELLER:} \\ \frac{2x + x^2 \tan{(x)}}{\sqrt{x+4}} - \frac{x^2}{2(x+4)\sqrt{x+4}} \\ \ \\ = \; \frac{4x(x+4) + 2x^2(x+4)\tan{(x)} - x^2}{2(x+4)\sqrt{x+4}} \\ \ \\ = \; \frac{4x^2 + 16x + \tan{(x)}(2x^3 + 8x^2) - x^2}{2(x+4)\sqrt{x+4}} \\ \ \\ = \; \frac{3x^2 + 16x + \tan{(x)}(2x^3 + 8x^2)}{2(x+4)\sqrt{x+4}}[/tex]
Når vi vet at dette er telleren i f'(x), og nevneren bare er cos(x), er det jo bare å sette cos(x) rett inn i tellerens nevner.
Dermed får vi:[tex]f^\prime (x) \; = \; \frac{3x^2 + 16x + 2x^2 \tan{(x)}(x+4)}{2\cos{(x)}(x+4)\sqrt{x+4}}[/tex]
som også kan skrives som:
[tex]f^\prime (x) \; = \; \frac{3x^2}{2\cos{(x)}(x+4)^{\frac32}} + \frac{8x}{\cos{(x)}(x+4)^{\frac32}} + \frac{x^2 \tan{(x)}}{\cos{(x)}\sqrt{x+4}}[/tex].
Nå skal jeg sjekke om DETTE ble riktig da.
....
AHHH, se der, ja! Sykt drit at den slurvefeilen kostet meg 2 timer søvn, menmen. Endelig kom jeg fram til et riktig svar. Og da kan jeg i det minste sove GODT! Heh.