Sirkel

[Wentworth]

Vis at løsningene for følgende ligning ligger på en sirkel i det komplekse plan:

$z^6-8z^3+64$

Løsninger:
$z_1,z_2=2e^{+-i\frac{\pi }{9}},z_3,z_4=2e^{+-i\frac{7\pi }{9}},z_5,z_6=2e^{+-i\frac{13\pi }{9}}$

Antar jeg at sentrum til sirkelen ligger i origo får jeg sirkelligning:
$x^2+y^2=r^2$

Der $x=2cos(\frac{\pi }{9}),2cos(\frac{-\pi }{9}),2cos(\frac{-7\pi }{9}),2cos(\frac{7\pi }{9}),2cos(\frac{13\pi }{9}),2cos(\frac{-13\pi }{9})$

Og der $y=2isin(\frac{\pi }{9}),2isin(\frac{-\pi }{9}),2isin(\frac{7\pi }{9}),2isin(\frac{-7\pi }{9}),2isin(\frac{13\pi }{9}),2isin(\frac{-13\pi }{9})$

Når jeg da for eksempel setter inn for en av x og y i sirkelligningen får jeg;

$(2cos(\frac{\pi }{9}){)}^2+(2isin(\frac{\pi }{9}){)}^2=4cos(\frac{2\pi }{9})$

for en annen kombinasjon av x og y får jeg:

$(2cos(\frac{-7\pi }{9}){)}^2+(2isin(\frac{13\pi }{9}){)}^2=-4cos(\frac{\pi }{9})$

Altså får jeg ikke at radiusen er den samme for alle løsningene, hvordan blir det riktig?

[drgz]

Løsninger:
$z_1,z_2=2e^{\pm i\frac{\pi }{9}},z_3,z_4=2e^{\pm i\frac{7\pi }{9}},z_5,z_6=2e^{\pm i\frac{13\pi }{9}}$

Allerede her ser du at alle løsningene har samme radius da $|r_i|=2\mathrm{\forall }i$ - dermed vil alle løsningene ligge på en sirkel med radius $r=2$ og vinkel ${\theta }_i$.


*ps: for $\pm$ skriver du \pm

[Wentworth]

Thx for the \pm tip, claudeShannon

Å selfølgelig er jo modulusene de samme og dermed ligger dem på en sirkel.Hulala