Intuisjonen bak kombinatorisk oppgave

[Betelgeuse]

I en klasse er det 18 jenter og 12 gutter.
Det blir bestemt at eksamensgruppengruppen skal ha tre jenter og to gutter. Hvor mange måter kan vi gjøre det på?

Slik jeg først tenkte på det;
Vi velger først tre jenter, da har vi 18 jenter å velge mellom på første valg, 17 på andre og 16 på tredje. Så velger vi 2 gutter og har først 12, så 11 å velge mellom. Mulige kombinasjoner av disse blir da;

[tex]18\cdot17\cdot16\cdot12\cdot11[/tex]

Siden rekkefølgen ikke spiller noen rolle tenkte jeg at vi må dele på antall måter det 5 elever innbyrdes kan kombineres på. Dvs at vi får


[tex]\frac{18\cdot17\cdot16\cdot12\cdot11}{5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1} = 5385,6[/tex]

Men dette er jo selvfølgelig feil. Det viser seg at

[tex]\frac{18\cdot17\cdot16\cdot12\cdot11}{3\cdot2\cdot1\cdot2\cdot1} = 53856[/tex]

Og lurte på om noen kunne forklare meg intuisjonen bake dette?

[Markonan]

Som du ser fra det riktige svaret, så tilsvarer det
[tex]{18\choose 3} \cdot {12\choose 2}[/tex]

Man kan tenke på det som to separate utvalg fra to forskjellige klasser.

Om det hjelper i det hele tatt.

[Betelgeuse]

Okei. Hvis jeg tenker på det som to separate utvalg har vi at vi kan plukke ut 3 av 18 jenter på [tex]{18\choose 3}= 816[/tex] forskjellige måter og 2 av 12 gutter på [tex]{12\choose 2} = 66[/tex] måter. Men videre blir jeg da litt fristet til å bare addere disse to for å få det totale antallet måter..

Litt om intuisjonen bak å multiplisere disse to?

[Betelgeuse]

Ah, nei. Dette burde jeg tenke meg til selv. Jeg kom frem til at jeg kan tenke på det slik:

for hver eneste måte vi kan plukke ut en gutt på er det 816 måter å plukke ut en jente på. Og siden vi har 66 måter får vi da 66 * 816 måter.

På tide at jeg opparbeider meg litt intuisjon på dette emnet.