Rotasjonslegeme fra sirkelligning

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk på høyskolenivå. Alle som har kunnskapen er velkommen med et svar. Men, ikke forvent at admin i matematikk.net er spesielt aktive her.

Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa

Post Reply
ogsv
Pytagoras
Pytagoras
Posts: 6
Joined: 11/01-2010 23:14
Location: Horten

Long time reader, first time poster :)

Har en oppgave som lyder:
En sirkel med radius R er i kartesiske kooordinater (x; y) beskrevet ved relasjonen [tex]\frac{x^2}{R^2}+\frac{y^2}{R^2}=1[/tex] når sirkelens sentrum ligger i origo.
Beregn volumet av en kule med radius R ved å se på denne som det indre av rotasjonsflaten som dannes når sirkelen ovenfor roteres om x-aksen.

Denne relasjonen er vel bare [tex]x^2+y^2=R^2[/tex] skrevet på en annen måte... Men jeg trenger definitivt et vennlig spark i riktig retning for å komme igang :wink:
Betelgeuse
Ramanujan
Ramanujan
Posts: 260
Joined: 16/04-2009 21:41

Hvis du nå løser ut for y og bruker den positive roten, dvs

[tex]y = \sqrt{R^2 - x^2}[/tex]

har du formelen for en halvsirkel. Har du nå lært om omdreiningslegemer ved integrasjon? :)
[tex]\small{\text{atm: fys1120, ast1100, mat1120, mat2410 \ . Prev: mat1110, fys-mek1110, mek1100, mat1100, mat-inf1100, inf1100}}[/tex]
ogsv
Pytagoras
Pytagoras
Posts: 6
Joined: 11/01-2010 23:14
Location: Horten

Hmm... Tenke høyt...

[tex]\Pi \int_a^b \! (\sqrt{R^2-x^2})^2 \, dx \,= \Pi \int_a^b \! (R^2-x^2) \, dx = \frac{4 \Pi R^3}{3}[/tex]
...hvor a = -R og b = R
...?
Så vi har akkurat utleder formelen for volumet av en kule? How grand :)
Last edited by ogsv on 14/01-2010 14:06, edited 1 time in total.
Betelgeuse
Ramanujan
Ramanujan
Posts: 260
Joined: 16/04-2009 21:41

Eeexactly ;)
[tex]\small{\text{atm: fys1120, ast1100, mat1120, mat2410 \ . Prev: mat1110, fys-mek1110, mek1100, mat1100, mat-inf1100, inf1100}}[/tex]
ogsv
Pytagoras
Pytagoras
Posts: 6
Joined: 11/01-2010 23:14
Location: Horten

Så irriterende trivielt.. hehe.. Takk for hjelpen anyways :D
ogsv
Pytagoras
Pytagoras
Posts: 6
Joined: 11/01-2010 23:14
Location: Horten

I dag prøvde jeg å gjøre det samme som i andre/tredje post, men for en elipse / avlang sfæroid hvor A er radius i x-retning og B i y- og z-retning, altså:

[tex]\frac{x^2}{A^2} + \frac{y^2}{B^2} = 1[/tex]

[tex]y = \pm \sqrt{B^2 - \frac{B^2 x^2}{A^2}}[/tex]

[tex]\Pi \int_a^A \! B^2 - \frac{B^2 x^2}{A^2} \, dx[/tex]

men herfra blir det bare krøll nå... klarer åpenbart ikke å holde tunga rett i munnen etter 15 timer jobbing :P
Last edited by ogsv on 19/01-2010 23:31, edited 1 time in total.
espen180
Gauss
Gauss
Posts: 2578
Joined: 03/03-2008 15:07
Location: Trondheim

A er "semiradien" i x-retningen, så integrer mellom -A og A. :)
ogsv
Pytagoras
Pytagoras
Posts: 6
Joined: 11/01-2010 23:14
Location: Horten

espen180 wrote:A er "semiradien" i x-retningen, så integrer mellom -A og A. :)
Det er det jeg prøver :) Så nå at jeg hadde skrevet "a" istedenfor "-A" på nedre grense, siden LaTeX ikke liker negative grenser :P
Mulig denne bare må ligge til lunsj i morgen, klarer ikke å integrere en brøk nå :|
Janhaa
Boltzmann
Boltzmann
Posts: 8552
Joined: 21/08-2006 03:46
Location: Grenland

ogsv wrote:
espen180 wrote:A er "semiradien" i x-retningen, så integrer mellom -A og A. :)
Det er det jeg prøver :) Så nå at jeg hadde skrevet "a" istedenfor "-A" på nedre grense, siden LaTeX ikke liker negative grenser :P
Mulig denne bare må ligge til lunsj i morgen, klarer ikke å integrere en brøk nå :|
nå har jeg ikke sett på oppgava igjennom, men integrasjonen blir:

[tex]V=\pi \int_c ( B^2 - \frac{B^2 x^2}{A^2}) \, dx=\pi[B^2x\,-\,{1\over 3}\frac{B^2}{A^2}x^3]_c[/tex]
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.

[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Post Reply