Hei.
Jeg står litt fast på et aspekt av kurvedrøfting av parametriske kurver. Dette gjelder oppgaver som går ut på at man skal finne ut om en parametrisk kurve er glatt (smooth) eller ikke ved et eller flere punkter.
En oppgave som er gitt er: x = (t + 1)^4 og y = (t + 1)^3.
Jeg forstår godt at man først finner dx/dt og dy/dt for å sjekke om det
finnes et eller flere punkt hvor begge disse er 0. Deretter skal
man så, i følge læreboken, ta dy/dx for så å finne grenseverdien
rundt punktet hvor de to deriverte er 0 - dette vil fortelle oss om
kurven er glatt (smooth) eller ikke. Dersom vi tar utgangspunkt i oppgaven over får vi f.eks.:
dx/dt = 4(t +1)^3 og dy/dt = 3(t + 1)^2. Begge disse uttrykkene blir 0 for t = -1.
Jeg setter dy/dx og får:
(3(t + 1)^2) / (4(t + 1)^3)
= 3/4(t + 1)
Ved å finne grenseverdien når t nærmer seg -1 får man + uendelig og - uendelig. Altså ville jeg konkludert med at kurven ikke er smooth.
Problemet er imidlertid at i fasiten ikke har tatt dy/dx, men heller dx/dy. Altså byttet om teller og nevner. Da blir grenserverdien 0 og fasiten konkluderer med at kurven er smooth.
Det som forvirrer meg er at fasiten i noen tilfeller bruker dy/dx og andre ganger dx/dy. Det virker som dette gjøres ganske inkonsekvent. Spørsmålet mitt er derfor - hvordan kan man vite om man skal velge
dx/dy eller dy/dx for å vurdere om kurven er smooth eller ikke? Jeg har lest seksjonen flere ganger, samt studert løsningene i
løsningsmanualen, men jeg ser ikke noen logisk sammenheng for når
man velger det ene og når man velger det andre.
Setter derfor veldig veldig veldig(!) stor pris på om noen kan forklare dette på et enkelt og greit språk!
Kurvedrøfting - parametriske kurver
Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
La oss se på enhetssirkelen i [tex]\mathbb{R^2} [/tex] parametrisert ved
[tex]\vec{r}=(x(t),y(t))=(\cos(2\pi t),\sin(2\pi t))[/tex] der [tex] t\in [0,1 \rangle[/tex].
Ser vi på grensene
[tex]\lim_{t \to {\frac12}^{\pm}}\frac{dy}{dx}[/tex] er det klart at den ene er - [symbol:uendelig] mens den andre er [symbol:uendelig] , dette til tross for at kurven åpenbart er glatt;
Vi har at
[tex]\lim_{t \to {\frac12}^+}\frac{\cos(2\pi t)}{-\sin(2\pi t)}=-\infty[/tex] mens
[tex]\lim_{t \to {\frac12}^-}\frac{\cos(2\pi t)}{-\sin(2\pi t)}=\infty[/tex]
http://www.wolframalpha.com/input/?i=li ... 29+x+to+pi
Så moralen er at du nesten må gjøre unntak for uendelige grenser...
Det skulle for øvrig være nok å se på én av variantene (dy/dx eller dx/dy) dersom den du bruker ikke faller inn under tilfellet i eksempelet mitt (over).
[tex]\vec{r}=(x(t),y(t))=(\cos(2\pi t),\sin(2\pi t))[/tex] der [tex] t\in [0,1 \rangle[/tex].
Ser vi på grensene
[tex]\lim_{t \to {\frac12}^{\pm}}\frac{dy}{dx}[/tex] er det klart at den ene er - [symbol:uendelig] mens den andre er [symbol:uendelig] , dette til tross for at kurven åpenbart er glatt;
Vi har at
[tex]\lim_{t \to {\frac12}^+}\frac{\cos(2\pi t)}{-\sin(2\pi t)}=-\infty[/tex] mens
[tex]\lim_{t \to {\frac12}^-}\frac{\cos(2\pi t)}{-\sin(2\pi t)}=\infty[/tex]
http://www.wolframalpha.com/input/?i=li ... 29+x+to+pi
Så moralen er at du nesten må gjøre unntak for uendelige grenser...
Det skulle for øvrig være nok å se på én av variantene (dy/dx eller dx/dy) dersom den du bruker ikke faller inn under tilfellet i eksempelet mitt (over).