Integrasjon og volum

[Abu]

Kan noen hjelpe meg med oppgave b?

Prøvde å opphøye f(x) i to, og så regne ut det bestemte integralet mellom 0 og R, men det ble bare surr..

[Justin Sane]

grensene blir vel fra 0 til h.

husk å gange med pi.

[Abu]

Ja, vet at pi skal være der, men den står jo bare der gjennom hele utregninga. Sliter med å integrere uttrykket...

Hvis man tar f(x)^2 blir det vel:

( ((R-r)/h)x + r )^2 = (((R-r)/h)x)^2 + 2(((R-r)h)x) + r^2

Eller? Hvordan integreres dette?

[Realist1]

Blir vel:
[tex]V = \pi \int_0^h \left(f(x)\right)^2 \; \mathrm{d}x = \pi \int_0^h \left(\frac{R-r}{h}x + r\right)^2 \; \mathrm{d}x[/tex]

Tror jeg .. ?

[Abu]

Ja, jeg har klart å sette opp det utrykket, men jeg klarer ikke å fortsette.. Får ikke til integrasjonen av f(x)^2?

[Markonan]

Gang funksjonen med seg selv, og så kan du integrere.

[Abu]

Men det er integrasjonen jeg ikke får til... Dette er så langt jeg har kommet:

[tex]x$f{{(x)}^{2}}={{\left( \frac{R-r}{h}x+r \right)}^{2}}$[/tex]

[tex]\[{{\left( \frac{R-r}{h}x+r \right)}^{2}}=\left( {{\left( \frac{R-r}{h}x \right)}^{2}}+2\left( \frac{R-r}{h}xr \right)+{{r}^{2}} \right)\][/tex]

[tex]$\int\limits_{0}^{h}{\left( \frac{R-r}{h}{{x}^{2}}+2\frac{R-r}{h}xr+{{r}^{2}} \right)}=\left\lceil \frac{R-r}{3h}{{x}^{3}}+\frac{R-r}{h}r{{x}^{2}}+\frac{1}{3}{{r}^{2}} \right\rceil _{0}^{h}$[/tex]

[tex]\[\left( \frac{R-r}{3h}{{h}^{3}}+\frac{Rr-{{r}^{2}}}{h}{{h}^{2}}+\frac{1}{3}{{r}^{2}} \right)-\left( \frac{R-r}{3h}{{0}^{3}}+\frac{Rr-{{r}^{2}}}{h}{{0}^{2}}+\frac{1}{3}{{r}^{2}} \right)\][/tex]

[tex]$\left( \frac{1}{3}*(R-r){{h}^{2}}+(Rr-{{r}^{2}})h+\frac{1}{3}{{r}^{2}} \right)-\left( 0+0+\frac{1}{3}{{r}^{2}} \right)$[/tex]

Klarer ikke å se hvordan den igjen videre skal bli omformet til:
[tex]$\frac{1}{3}h({{R}^{2}}+Rr+{{r}^{2}})$[/tex]

Hva har jeg gjort feil i utregninga?

[Markonan]

Denne overgangen skal være slik (fra linje 2 til 3):
[tex]{{\left( \frac{R-r}{h}x \right)}^{2}}+2\left( \frac{R-r}{h}\right)xr +{{r}^{2}} \;=\; { (\frac{R-r}{h})^2{{x}^{2}}+2\left(\frac{R-r}{h}\right)xr+{{r}^{2}}}[/tex]

Og i integrasjonen: leddet [tex]r^2[/tex] blir [tex]r^2x[/tex], og ikke [tex]\frac{1}{3}r^2[/tex] som du fikk i linje 3.