Tre oppgaver jeg lurer på litt på - merker det er veldig lenge siden jeg har holdt på med lignende, så mye har gått i glemmeboka.
1) The heart rate of a patient is automatically recorded by a computer every 100ms. In 1s the measurements [tex]\{\hat{h}_1,\hat{h}_2,\ldots,\hat{h}_{10}\}[/tex] are averaged to obtain [tex]\hat{h}[/tex]. If [tex]E\left[\hat{h}_i\right] = \alpha h[/tex] for some constant [tex]\alpha[/tex], and [tex]\text{var}\left(\hat{h}_i\right)=1[/tex] for each [tex]i[/tex], determine whether averaging improves the estimator if [tex]\alpha=1[/tex] and [tex]\alpha=1/2[/tex]. Assume that each measurement is uncorrelated.
2) [tex]x[n] = A + w[n], A\in\mathbb{R},\,w[n]\sim\mathcal{N}(0,1),\,n\in[0,N-1][/tex]
If we choose to estimate the unknown parameter [tex]\theta = A^2[/tex] by
[tex]\hat{\theta}=\left(\frac1N\sum_{n=0}^{N-1}x[n]\right)^2[/tex], can we say that the estimator is unbiased? What happens as [tex]N\to\infty[/tex]?
3) Given a single observation [tex]x[0][/tex] from the distribution [tex]\mathcal{U}(0,1/\theta)[/tex], it is desired to estimate [tex]\theta[/tex]. It is assumed that [tex]\theta > 0[/tex]. Show that for an estimator [tex]\hat{\theta} = g(x[0])[/tex] to be unbiased we must have
[tex]\int_0^{1/\theta}g(u)\,du=1[/tex].
Next prove that a function [tex]g[/tex] cannot be found to satisfy this condition for all [tex]\theta > 0[/tex].
Statistisk signalteori: Estimeringsteori
Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
1) Vet ikke om det blir riktig, men det første som slår meg er:
[tex]\hat{h} = \frac{1}{10}\sum_{i=1}^{10}\hat{h}_i[/tex]
[tex]E\left[\hat{h}\right] = E\left[\frac{1}{10}\sum_{i=1}^{10}\hat{h}_i\right]=\frac{1}{10}\sum_{i=1}^{10}E\left[\hat{h}_i\right] = \alpha h[/tex]
Og dermed vil ikke midling forbedre estimatoren hvis [tex]\alpha \not{=}1[/tex]?
2) [tex]E[\hat{\theta}] = \frac{1}{N ^2}\sum_{n=0}^{N-1}\sum_{k=0}^{N-1}E\left[x[n]x[k]\right] = \frac{1}{N^2}\sum_{n=0}^{N-1}\sum_{k=0}^{N-1}E\left[\left(A+w[n]\right)\left(A+w[k]\right)\right] = \frac{1}{N^2}\sum_{n=0}^{N-1}\sum_{k=0}^{N-1}E\left[A^2+A(w[n]+w[k])+w[n]w[k]\right] = \frac{1}{N^2}\sum_{n=0}^{N-1}\sum_{n=0}^{N-1}\theta+\delta_{nk} = \frac{1}{N^2}\sum_{n=0}^{N-1}\theta+1=\theta + \frac1N[/tex]
Så for [tex]N\to\infty\Rightarrow \hat{\theta}\to\theta[/tex].
3) [tex]E\left[\hat{\theta}\right] = \int g(x)p(x;\theta)dx = \theta\;\forall\theta[/tex]
[tex]\int_0^{1/\theta}\theta g(x[0])dx[0] = \theta \int_0^{1/\theta}g(x[0])dx[0] = \theta[/tex], da integralet over PDF'en må være lik én.
Bruker det samme til å bevise at det ikke finnes en funksjon g som gjelder for alle [tex]\theta > 0[/tex].
Vet at: [tex]\int_0^{1/\theta}g(x)dx = 1[/tex]
Det samme gjelder for f.eks [tex]\int_{0}^{1/\theta_1}g(x)dx + \int_{1/\theta_1}^{1/\theta_2}g(x)dx = 1[/tex].
Samtidig må integralet av hvert av leddene i det forrige uttrykket være lik én, ergo må ett av de være null, og dermed finnes det ingen funksjon g som gjelder for alle [tex]\theta > 0[/tex].
[tex]\hat{h} = \frac{1}{10}\sum_{i=1}^{10}\hat{h}_i[/tex]
[tex]E\left[\hat{h}\right] = E\left[\frac{1}{10}\sum_{i=1}^{10}\hat{h}_i\right]=\frac{1}{10}\sum_{i=1}^{10}E\left[\hat{h}_i\right] = \alpha h[/tex]
Og dermed vil ikke midling forbedre estimatoren hvis [tex]\alpha \not{=}1[/tex]?
2) [tex]E[\hat{\theta}] = \frac{1}{N ^2}\sum_{n=0}^{N-1}\sum_{k=0}^{N-1}E\left[x[n]x[k]\right] = \frac{1}{N^2}\sum_{n=0}^{N-1}\sum_{k=0}^{N-1}E\left[\left(A+w[n]\right)\left(A+w[k]\right)\right] = \frac{1}{N^2}\sum_{n=0}^{N-1}\sum_{k=0}^{N-1}E\left[A^2+A(w[n]+w[k])+w[n]w[k]\right] = \frac{1}{N^2}\sum_{n=0}^{N-1}\sum_{n=0}^{N-1}\theta+\delta_{nk} = \frac{1}{N^2}\sum_{n=0}^{N-1}\theta+1=\theta + \frac1N[/tex]
Så for [tex]N\to\infty\Rightarrow \hat{\theta}\to\theta[/tex].
3) [tex]E\left[\hat{\theta}\right] = \int g(x)p(x;\theta)dx = \theta\;\forall\theta[/tex]
[tex]\int_0^{1/\theta}\theta g(x[0])dx[0] = \theta \int_0^{1/\theta}g(x[0])dx[0] = \theta[/tex], da integralet over PDF'en må være lik én.
Bruker det samme til å bevise at det ikke finnes en funksjon g som gjelder for alle [tex]\theta > 0[/tex].
Vet at: [tex]\int_0^{1/\theta}g(x)dx = 1[/tex]
Det samme gjelder for f.eks [tex]\int_{0}^{1/\theta_1}g(x)dx + \int_{1/\theta_1}^{1/\theta_2}g(x)dx = 1[/tex].
Samtidig må integralet av hvert av leddene i det forrige uttrykket være lik én, ergo må ett av de være null, og dermed finnes det ingen funksjon g som gjelder for alle [tex]\theta > 0[/tex].
Last edited by drgz on 27/01-2010 16:00, edited 1 time in total.