Finnes det noen funksjon [tex]f[/tex] fra [tex]\mathbb{Z}[/tex] til [tex]\mathbb{Z}[/tex] slik at [tex]f(f(n))=n+1[/tex] for alle heltall [tex]n[/tex]?
Oppgaven er sakset fra en eller annen Abelfinale.
Funksjonallikning
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Niks.
Ser først at f(f(f(n))) = f(n+1) = f(n) + 1.
La så anta at f(m) = 0. Da har vi videre at f(f(m)) = m+1 = f(0).
f(0) = m+1
f( 1 ) = m+2
f( n ) = m+n+1
f(-1) = f(0) - 1 = m
f(-2 ) = m-1
f(-n) = m-n+1
med andre ord f(n) = m+n+1 for vilkåerlig n heltall.
f(f(n)) = f(m+n+1) = m + 1 + (m+n+1) = 2m + 2 + n = n+1, 2m = -1, en umulighet for m et heltall.
Ser først at f(f(f(n))) = f(n+1) = f(n) + 1.
La så anta at f(m) = 0. Da har vi videre at f(f(m)) = m+1 = f(0).
f(0) = m+1
f( 1 ) = m+2
f( n ) = m+n+1
f(-1) = f(0) - 1 = m
f(-2 ) = m-1
f(-n) = m-n+1
med andre ord f(n) = m+n+1 for vilkåerlig n heltall.
f(f(n)) = f(m+n+1) = m + 1 + (m+n+1) = 2m + 2 + n = n+1, 2m = -1, en umulighet for m et heltall.