Artig tilnærming for integraler

07/02-2010 19:14

Fant dette og tenkte jeg kunne dele det.

Det viser seg at integralene

[tex]\int_0^a \sin\left(x^n+\sin(x^n)+\frac{\pi}{2}\right)+1\rm{d}x[/tex]

for heltallige [tex]n\geq2[/tex] har en lineær tilnærming for store [tex]a[/tex].

[tex]t(x)=rx+s[/tex]

Dette alene er rimelig intuitivt, ettersom integranded består av "spisser" med høyde 2 som blir tettere og tettere. Det virker også som tilnærmingen for forskjellige [tex]n[/tex] har samme stigningstall, [tex]r\approx 0.56[/tex]. Dette er også rimelig intuitivt, ettersom "spissene" for f.eks n=3 ikke er veldig forskjellige fra "spissene" for n=4 for store a.

[tex]s[/tex] for ulike [tex]n[/tex] er
[tex]s\approx0.81[/tex] når [tex]n=2[/tex]
[tex]s\approx1.00[/tex] når [tex]n=3[/tex]
[tex]s\approx1.12[/tex] når [tex]n=4[/tex]

07/02-2010 20:19

Målte også
[tex]s\approx1.18[/tex] for [tex]n=5[/tex]
[tex]s\approx1.23[/tex] for [tex]n=6[/tex]
[tex]s\approx1.26[/tex] for [tex]n=7[/tex]
[tex]s\approx1.28[/tex] for [tex]n=8[/tex]
[tex]s\approx1.30[/tex] for [tex]n=9[/tex]
[tex]s\approx1.31[/tex] for [tex]n=10[/tex]

Den beste kurvetilpasningen jeg kunne få for [tex]s(n)[/tex] er

[tex]s(n)=\frac{1.30399}{1+1.99555e^{-0.60853n}}[/tex]

(rundet av til 6 gjeldende siffer)

Med kvadratavvik [tex]sse_s\approx8.56015\cdot10^{-4}[/tex]