Lineær algebra - bevis

[drgz]

Skal prøve å bevise at [tex]\left(\mathbf{H}^T\mathbf{H}\right)^{-1}[/tex] eksisterer kun hvis alle kolonnene i [tex]\mathbf{H}[/tex], som er en vilkårlig [tex]m\times n[/tex] matrise, er lineært uavhengige.

Slik jeg tenker så er selve teoremet ganske greit grunnet det faktum at hvis det er noen kolonner i [tex]\mathbf{H}[/tex] som er lineært avhengige, så vil det i resultant-matrisen [tex]\mathbf{H}^T\mathbf{H}[/tex] være en nullvektor (radvektor) som vil føre til at det[tex]\left(\mathbf{H}^T\mathbf{H}\right)=\mathbf{0}[/tex], og den inverse vil ikke eksistere.

Men så er det det med å vise dette med et fint bevis da

Ellers tenker jeg at for matrisen [tex]\mathbf{H}[/tex] må følgende være tilfredsstilt:

- [tex]m > n[/tex]. (Hvis [tex]m < n[/tex] så eksisterer ikke [tex]\left(\mathbf{H}^T\mathbf{H}\right)^{-1}[/tex]).
- [tex]\text{rank}\left(\mathbf{H}\right) \leq \text{min}\left(m,n\right)=n[/tex]. Dvs at [tex]\mathbf{H}[/tex] har full rank.

Hvis dette stemmer vil [tex]\text{rank}\left(\mathbf{H}^T\mathbf{H}\right)\leq \text{min}\left\{\text{rank}\left(\mathbf{H}\right),\text{rank}\left(\mathbf{H}^T\right)\right\}=n[/tex],

og dermed vil vel [tex]\left(\mathbf{H}^T\mathbf{H}\right)[/tex] være inverterbar (?).

Noen tips til forenkling / forbedring / etc?

[Gustav]

La oss si at

[tex]H=\begin{array}{ccc}a&b&c\\d&e&f\end{array}[/tex]


[tex]H^T=\begin{array}{cc}a&d\\b&e\\c&f\end{array}[/tex]

[tex]H^TH[/tex] er da en 3x3 matrise og [tex]HH^T[/tex] en 2x2

At m>n eller motsatt spiller ingen rolle. begge muligheter går an.

[FredrikM]

Poenget var at om [tex]n > m[/tex], så vil søylene være lineært avhengige.

[Gustav]

Poenget var at om [tex]n > m[/tex], så vil søylene være lineært avhengige.

Ja, jeg misforsto litt av hva som var problemet:)

[Markonan]

Slenger ut et forslag, uten at jeg har sett så nærme på oppgaven.

Beviset er jo:
Kolonnene i H lineært uavhengige [tex]\Rightarrow[/tex] [tex](H^TH)^{-1}[/tex] eksisterer

Kan det være det er enklere å bevise den (logisk ekvivalente) kontrapositive?
[tex](H^TH)^{-1}[/tex] eksisterer ikke [tex]\Rightarrow[/tex] Kolonnene i H er lineært avhengige.

[FredrikM]

Forslag:

La [tex]H*[/tex] være en utvidelse av [tex]H[/tex] slik at [tex]H*[/tex] er kvadratisk. Vi kan anta n < m (for hvis ikke er [tex]H^TH[/tex] uansett ikke inverterbar). Føy til enhetsvektorer [tex]e_{n+1},...e_{m}[/tex] slik at [tex]H*=[v_1,...,v_n, e_{n+1},...,e_m][/tex] der [tex]H=[v_1,...v_n][/tex].

Anta nå at [tex]{v_1,...,v_n}[/tex] (søylene i H) er lineært uavhengige. Da er [tex]\det(H*)\neq 0[/tex], og dermed også [tex]\det(H*^TH*)\neq 0[/tex]. Dermed er [tex]H*^TH*[/tex] inverterbar.

[tex]H*^TH*[/tex] er nå en symmetrisk mxm-matrise. Den er inverterbar, så kolonnene er lineært uavhengige. Legg merke til at om vi fjerner de [tex]m-n-1[/tex] siste kolonnene og radene endres ikke lineær uavhengighet, og vi står igjen med matrisen [tex]H^TH[/tex]. Siden den lineære uavhengigheten i søylene ikke er endret, er [tex]H^TH[/tex] inverterbar.

[drgz]

Takker for tips og hint

[Gustav]

Man kan vise at [tex]H[/tex] og [tex]H^TH[/tex] har samme nullrom. Da følger beviset ved Rank nullity teoremet

[drgz]

Man kan vise at [tex]H[/tex] og [tex]H^TH[/tex] har samme nullrom. Da følger beviset ved Rank nullity teoremet

Virker som at det skal være greit å gjøre beviset med det teoremet - takk for tipset.