Den deriverte

[anlif]

Hei. Jeg gjør R2 matte som privatist nå, og holder for øyeblikket på med differensiallikninger...

Jeg har lite problemer med å forstå mesteparten av matten, men når jeg gjorde integrasjonskapittelet og lærte meg substitusjon, begynte boken plutselig å vise meg å skrive den deriverte som [tex]\frac{du}{dx}[/tex]

Noen som har en god forklaring på denne skrivemåten? Jeg har sett den blitt brukt flere steder, og skjønner hvordan jeg skal bruke den i integrasjons-substitusjon, men ikke hvorfor det funker.

Takk

alf

[espen180]

[tex]\frac{du}{dx}[/tex] er forholdet mellom differnsialene [tex]du[/tex] og [tex]dx[/tex]. Du kan se på disse som [tex]du=\lim_{\Delta u\to0}\Delta u=\lim_{\Delta x\to0} u(x+\Delta x)-u(x)[/tex] og [tex]dx=\lim_{\Delta x\to 0} \Delta x[/tex].

Jeg vet ikke horvidt dette er lov, men det gir vel en viss forståelse av hva de representerer i den sammenhengen.

Vent på bekreftelse fra noen mer erfarne før du godtar dette, er mitt forslag.

[anlif]

[tex]\frac{du}{dx}[/tex] er forholdet mellom differnsialene [tex]du[/tex] og [tex]dx[/tex]. Du kan se på disse som [tex]du=\lim_{\Delta u\to0}\Delta u=\lim_{\Delta x\to0} u(x+\Delta x)-u(x)[/tex] og [tex]dx=\lim_{\Delta x\to 0} \Delta x[/tex].

Jeg vet ikke horvidt dette er lov, men det gir vel en viss forståelse av hva de representerer i den sammenhengen.

Vent på bekreftelse fra noen mer erfarne før du godtar dette, er mitt forslag.

Takker for svaret

Må bare nevne at jeg syntes differensiallikninger er fantastisk spennende!

[Markonan]

Det er Gottfried Leibniz sin notasjon for den deriverte. Står litt om det her:
http://en.wikipedia.org/wiki/Leibniz%27s_notation
og som espen180 påpeker tenkte Leibniz på det som uendelig små inkrementer.

Også morsomt å vite (om du er mattenerd ) at
[tex]g^{\tiny\prime}[/tex] er Lagrange sin notasjon,

[tex]{\dot g}[/tex] er Newton sin notasjon,

[tex]Dg[/tex] er Euler sin notasjon.

Kilde:
http://en.wikipedia.org/wiki/Notation_f ... rentiation

[espen180]

Vi bruker altså Eulernotasjon for den retningsderiverte.

Artig å vite, det der.


Lagrange er grei som shorthand, men jeg foretrekker Leibniz.

[Nebuchadnezzar]

Kunne noen forklare meg hvorfor vi kan behandle Leibniz sin notasjonen som en brøk når vi substituerer i integrasjonen?

Liker selv best Leibniz

[Markonan]

Det er veldig mye uenighet om akkurat det du snakker om der.

Når man manipulerer dx/du brøken i substitusjon er det mange som mener at det egentlig er helt meningsløst og at det bare er "flaks" at man kan bruke notasjonen på den måten! (Det står f.eks noe sånt i Tom Lindstrøm sin Kalkulus. I min bok er det side 437 - eksempel 9.2.2).

Det finnes matteprofessorer rundt omkring som mener at dx bare er en del av notasjonen til integralet som forteller oss hvilken variabel vi integrerer. Noen går så langt som å mene at det ikke burde brukes i det hele tatt.

Andre mener det er en viktig del av summen, siden integralet (i hvert fall i følge Riemann sin definisjon) er en uendelig sum av uendelig små rektangler.
[tex]\sum f(x)\Delta x \;\Rightarrow\; \int f(x)dx[/tex] når [tex]\Delta x \rightarrow 0[/tex]

Liten digresjon her: integraltegnet er forresten egentlig en stor S, som står for sum.

Veldig merkelig det der. Spesielt i et fagfelt som matematikk der alt skal være så nøyaktig og konsistent hele veien!

[espen180]

Har alltid sett på Riemanns definisjon som den naturlige mht integralnotasjonen. Det virker "for dumt" når folk presenterer dx som "bare en del av notasjonen".

[meCarnival]

Newtons notasjon brukes vel innen parametrisering? For å gi et forslag der også...

[SILK]

Andre mener det er en viktig del av summen, siden integralet (i hvert fall i følge Riemann sin definisjon) er en uendelig sum av uendelig små rektangler.
[tex]\sum f(x)\Delta x \;\Rightarrow\; \int f(x)dx[/tex] når [tex]\Delta x \rightarrow 0[/tex]

Det var dette matteforeleseren min på universitetet sa da vi begynte med integrasjon, der han utledet hvorfor man "antideriverer" når man skal finne arealet under en graf. Da presiserte han at grunnen til at man har dx der er fordi man egentlig ganger med et uendelig lite tillegg dx som kommer av at man opprinnelig bruker summetegn og ganger med [tex]\Delta x[/tex] for å komme fram til det.

[Markonan]

Jeg tror fokuset på problemet er i forbindelse med Lebesgue sin definisjon av integralet (uttales Lebeeg forresten). Der bruker man ikke uendelig mange rektangler for å finne arealet under kurven, men man ser på funksjonsverdien f(x), så finner mengden A: all intervaller/punkter på x-aksen som gir den verdien, og ganger f(x) med lengden til A. Litt forenklet forklart, men det er den generelle ideen.

Hvordan man finner lengden til punkter og intervaller på x-aksen blir gjort med det som kalles et mål, og som gjerne betegnes med [tex]\mu[/tex]. I Lebesgue integralet er det dette som er det viktige punktet, og derfor betegnes integralet gjerne med [tex]d\mu[/tex].

Se her:
http://mathworld.wolfram.com/LebesgueIntegral.html
http://en.wikipedia.org/wiki/Lebesgue_integral

Det kommer vel i bunn og grunn an på om professoren mener Lebesgue-integralet eller Riemann-integralet er det som brukes når man har et integral. Riemann-integralet er en mer intuitiv måte å finne arealet på, og trenger ikke det samme teoretiske grunnlaget for å forstå, mens Lebesgue-integralet gir muligheten til å integrere mange flere typer funksjoner.