Logaritmefunksjon

[Nebuchadnezzar]

a) Finn nullpunktene til

[tex]f(x) = \ln{x} - x[/tex]

Har ikke lyst å begynne å rote med Lambert W som ikke vi har lært så jeg
tenkte først at jeg kunne vise at [tex]\ln{x} [/tex]aldri var lik [tex]x[/tex], og dermed ville ikke [tex]f(x) [/tex]ha noen nullpunkt... Klarte ikke å vise at [tex]\ln{x}[/tex] aldri var lik [tex]x[/tex], så den løsningen hjalp ikke.

Tenkte så å vise at

[tex]\lim_{x\to0}f(x)=-\infty [/tex] og at toppunktet til[tex] f(x)[/tex] var under [tex]x[/tex] aksen. Holder dette, eventuelt hvordan beviser jeg denne grensen ?

[wingeer]

Du kan jo evt regne ut toppunktet og vise at det ligger under x-aksen.

Edit: leste ikke at du hadde skrevet akkurat dette. Men jo, det holder.
Den beviser du ganske så enkelt.
[tex] \lim_{x \to 0^+} lnx - x= \lim_{x \to 0^+} lnx - \lim_{x \to 0^+} x = \lim_{x \to 0^+} lnx - 0 = \lim_{x \to 0^+} lnx = -\infty[/tex]
Siste steget trenger vel strengt tatt ikke bevis.

[Markonan]

Alternativt kan du kanskje resonnere ved å påpeke at ln x og x begge er monotont voksende funksjoner, bruke at x er større enn ln x i (0,1] siden x>0 og ln x<0 og så vise at x vokser raskere enn ln x i (1, [symbol:uendelig] ) ved å derivere funksjonene.

Fyrte opp Matlab i samme slengen.
Den blå er g(x) = x, og den røde er h(x) = ln x.


Matlab-kode:

Code: Select all

>> x = [0.01 : 0.01 : 5];
>> f = x;
>> g = log(x);
>> plot(x,f)
>> hold on
>> plot(x,g,'r')
>> line([0, 5], [0, 0], 'Color','Black')