Deriverte av X^x?

[mortenfd]

Jeg lurer på om noen kan hjelpe meg med å svare på hva den deriverte av f(x) = X^x er.

Bruker man;

(1) A^x = A^x * ln A

eller

(2) X^n = n * X^(n-1)

og hvis (2),

X^x = X * X^(n-1) (X * X = X^2 så =>)

(1) X^(2(x-1)) = X^(2x-2)
(2) X^((x-1)+2) = X^(x+1)

Takk på forhånd!

[Realist1]

Se her

[SILK]

For å komme fram til det selv, kan du bruke såkalt logaritmisk derivasjon (ta logaritmen til begge sider for å forenkle derivasjonen), og deriver etterpå.

$y=x^x$
$lny=ln{x}^x$
$lny=xlnx$

Deriverer (bruker kjerneregelen på venstresiden og produktregelen på høyre):

$\frac{1}{y}\frac{dy}{dx}=lnx+1$

Ganger med y og setter inn det originale uttrykket $y=x^x$:

$\frac{dy}{dx}=x^x(lnx+1)$

[Emilga]

(2) X^n = n * X^(n-1)

Denne regelen gjelder bare når n er konstant. Bruk heller at $x^x$ kan skrives som $(e^{\ln x}{)}^x=e^{\ln x\cdot x}$ og ta det derfra.

[andhou]

wops

[FredrikM]

Evt legg merke til at $x^x=e^{x\ln x}$ (dette er egentlig det samme som "logaritmisk derivasjon", men enklere å forstå (etter min smak).