Sannsynlighetsregning, utvalg + uavheng.

[meCarnival]

Hei.. Da er jeg neste ferdig med sannsynlighetsoppgavene i boka og samlet opp noen oppgaver jeg ikke helt forstår og kanskje trenger et spark bak på...

1.
I et kommunestyre er det 15 representanter, 9 menn og 6 kvinner. Velges ut 5 personer til formannskapet.
- Dersom utvelgelsen skjer ved tilfeldig trekning, hva blir da sannsynligheten for at formannskapet vil bestå av

a) bare menn?
b) 4 menn og 1 kvinne?
c) flere menn enn kvinner?
d) flere kvinner enn menn?

Her står jeg helt fast siden det er snakk om sannsynligheten... Vet ikke helt hvordan jeg skal benytte formelhefte mitt her heller...


2.
Et apparat har to komponenter. Vi lar A være utfallet at komponent nr. 1 svikter, og B er utfallet at komponent nr. 2 svikter. Apparatet fungerer så lenge komponent nr. 2 funker.

Vi antar at
[tex]P(A) = p[/tex]
[tex]P\(B\|A\) = \frac{1}{3}[/tex]
[tex]P\(B\|\bar{A}\) = 0[/tex]

Komponent nr. 2 svikter altså ikke med mindre komponent nr. 1 har sviktet først.

a) Er A og B disjunkte utfall? Er A og B uavhengige utfall? - Begrunn
Her tenker jeg at det ikke er uavhengige fordi komponent 2 aldri svikter så sant komponent 1 er funksjonell.
Mener det er riktig, men jeg forstår ikke hvordan jeg skal se utfra teksten av dette er disjunkt eller ikke, altså felles enkeltutfall...

[sirins]

1a)

[tex]p = \frac{{9 \choose 5} \cdot {6 \choose 0}}{15 \choose 5}[/tex]


2.

Disjunkte dersom [tex]P(A \cap B) = 0[/tex]

Uavhengige dersom [tex]P(B|A) = P(B)[/tex] eller alternativt
[tex]P(B| \bar A) = P(B)[/tex]

Her kan vi vel anta at P(B) er ulik 0, altså [tex]P(B| \bar A) \neq P(B)[/tex]

[Markonan]

Slenger inn et supplerende svar.

1)
Her er det vel bare gunstig/mulige på a og b? På b må du finne alle måtene det kan skje.

c, d
Antall måter du kan ha 5, 4 eller 3 menn/kvinner på ganget med sannsynligheten for ett slikt tilfelle.

2)
Se her:
http://en.wikipedia.org/wiki/Bayes%27_t ... tive_forms
Du har nok informasjon til å finne P(B).
[tex]P(B) = P(B|A)P(A) + P(B|\overline{A})P(\overline{A})[/tex]

A og B er uavhengige for de verdiene av p der
[tex]P(B|A) = P(B)[/tex]

[meCarnival]

Jeg skal finne ut fra teksten eller kommentere hvorfor det er sånn osv... Uavhengighet vet jeg og sagt over... Mener det er riktig da hvertfall og kommentert rett ut fra oppgaven.. Men skjønner ikke hvordan jeg skal kommentere ut fra tekste om det er disjunkt eller ikke...
- Eller er det ikke mulig?

[sirins]

[tex]P(A \cap B) = P(B|A) \cdot P(A) = \frac{1}{3} \cdot p = \frac{p}{3}[/tex]

Som er ulik 0 hvis p er ulik 0. Derfor er A og B ikke disjunkte.

[meCarnival]

Kanskje det er sent eller jeg vrang, men du vet jo ikke noe om [tex]p[/tex] som verdi? Svaret er nei, som du har konkludert med, hvis p er lik null, men hvor får vi det da fra, fordi er p et tall så får vi som sagt en verdi...

Eneste som står i boka om disjunkt er "A og B sies å være disjunkte hvis de ikke har noen felles enkeltutfall"... Så litt diffust når det kommer opp med formler, så prøver å forstå igjennom det dere skriver her

[Markonan]

Verdien p er en verdi mellom 0 og 1 siden det er en sannsynlighet.

Det med disjunkthet kommer fra mengdelære. Definisjonen på å være disjunkt vil si at
[tex]A\cap B = \emptyset[/tex]
som kan sies å være at de ikke har noe felles enkeltutfall.

Jeg regner med det er en tabell over aksiomer for sannsynlighetsregning i boken din, og der pleier det å være
[tex]P(\emptyset) = 0[/tex].
(Under punkt 2: http://en.wikipedia.org/wiki/Probability_axioms).

En regel man kan utlede fra dette er
[tex]A\cap B = \emptyset[/tex] betyr de er disjunkte, så da er
[tex]P(A\cap B) = 0[/tex] hvis de er disjunkte.

Edit: skriveleif

[meCarnival]

Ok, bra forklart =)...

Da er jeg enig med sirins utledning, men vet ikke om den sannsynligheten er 0 eller ikke da? Altså om A og B i oppgaven er disjunkte utfall? Som han kommentere kan jo p være ulik eller lik null, alt ettersom...

[Markonan]

Jeg hadde svart noe sånt som
"de er disjunkte om p = 0 og ikke disjunkte ellers".

[sirins]

Dersom p=0:

[tex]P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = \frac{0}{0}[/tex] = udefinert

Kan man på grunnlag av dette argumentere for at p må være ulik 0, siden vi har fått oppgitt at P(B|A) er 1/3?

[Markonan]

Ja, det tenkte jeg ikke på og du har helt rett, sirins.
Det gir jo ikke mening å snakke om P(B|A) når A aldri skjer!

[smokeyen]

Er kanskje litt gammel denne tråden men..

Hva er sannsynligheten for at apparatet fungerer da?? :p

[sirins]

Sannsynligheten for at apparatet fungerer er lik sannsynligheten for at komponent 2 fungerer = P(B)

[smokeyen]

sannsynligheten for at apparatet fungerer er vel P([ikke B) altså P(B med strek over):p men hvordan kan man regne ut P(Ikke B) da??

og en ting til..
hvordan kan man regne ut P(A gitt B)? Takk for hjelpa

[sirins]

Ja såklart, [tex]P(\bar B)[/tex] blir det ja.
Fremgangsmåten for å finne [tex]P(B)[/tex] er gitt tidligere i denne tråden, og [tex]P(\bar B) = 1 - P(B)[/tex].

For [tex]P(A|B)[/tex], se Bayes formel.