Derivasjon og Grenser

[Nebuchadnezzar]

[tex]f(x)=\left( {1 + \frac{9}{x}} \right)^{\frac{x}{2}} [/tex]

[tex]\lim_{x\to\infty}\,f(x)[/tex]

Hvordan løser jeg denne oppgaven ? Skrev den om og fant ut at den var på [tex] \, \frac00 \, [/tex] form og dermed kunne jeg derivere funksjonen, men det hjalp ikke så mye.

[tex]f\left( x \right) = \left( {1 + \frac{9}{x}} \right)^{\frac{x}{2}} \Leftrightarrow \left( {\left( {\frac{{x + 9}}{x}} \right)^x } \right)^{1/2} [/tex]

[tex] \ln \left( {f\left( x \right)} \right) = \ln \left( {1 + \frac{9}{x}} \right)^{\frac{x}{2}} = \frac{x}{2}\ln \left( {1 + \frac{9}{x}} \right)[/tex]

[tex] \frac{d}{{dx}}uv = \frac{{du}}{{dx}}v + u\frac{{dv}}{{dx}} [/tex]

[tex] u = \frac{x}{2}{\rm{ og }}\frac{{du}}{{dx}} = \frac{1}{2} [/tex]

[tex] v = \ln \left( {1 + \frac{9}{x}} \right){\rm{ og }}\frac{{dv}}{{dx}} = \frac{{ - \frac{9}{{x^2 }}}}{{1 + \frac{9}{x}}} = \left( { - \frac{9}{{x^2 }}} \right):\left( {\frac{{x + 9}}{x}} \right) = \left( { - \frac{9}{{x^2 }}} \right)\left( {\frac{x}{{x + 9}}} \right) = - \frac{9}{{x\left( {x + 9} \right)}} [/tex]

[tex] \frac{d}{{dx}}\ln \left( {f\left( x \right)} \right) = \frac{d}{{dx}}\left( {\frac{x}{2}\ln \left( {1 + \frac{9}{x}} \right)} \right) = \frac{1}{2}\ln \left( {1 + \frac{9}{x}} \right) + \left( {\frac{x}{2}} \right)\left( { - \frac{9}{{x\left( {x + 9} \right)}}} \right) = \frac{1}{2}\ln \left( {1 + \frac{9}{x}} \right) - \frac{9}{{2\left( {x + 9} \right)}} [/tex]

[tex] \frac{d}{{dx}}f\left( x \right) = \left( {1 + \frac{9}{x}} \right)^{\frac{1}{2}} + e^{ - \frac{9}{{2\left( {x + 9} \right)}}}[/tex]

Er dette riktig ? Og hva gjør jeg herfra...

[Realist1]

http://www.wolframalpha.com/input/?i=+x ... 28x%2F2%29

Show steps

[FredrikM]

Enklere forklaring enn WolframAlpha sin:

Sett [tex]u=\frac{9}{x}[/tex]. Legg merke til at når [tex]x \to \infty[/tex], så [tex]u \to 0[/tex]. Dermed:
[tex]\lim_{x \to \infty} (1+\frac{9}{x})^{\frac x2}=\lim_{u \to 0} (1+u)^{\frac 9{2u}}=\lim_{u \to 0}( (1+u)^{\frac{1}{u}})^{\frac 92}[/tex]

Og siden [tex]e=\lim_{u \to 0} (1+u)^{\frac 1u}[/tex], har vi at
[tex]\lim_{x \to \infty} (1+\frac{9}{x})^{\frac x2}=e^{\frac 92}[/tex]