Algebra

[mardal]

Jeg lurte på om noen kan hjelpe meg å løse:

(3+h)^3

[Markonan]

Skal du bare gange ut parentesen?

3+h kan du skrive som h+3

og

(3+h)[sup]3[/sup] = (h+3)(h+3)(h+3)

Dette ligner vel noe du har sett før?

[mardal]

Det er egentlig derivasjon, vekstfart som grenseverdi og ikke algebra.

f'(a)= lim f(a+h)-f(a)/h
h->0

f(a+h) = (3+h)

[Markonan]

Skal sies at det er massevis av algebra i derviasjon. Men tilbake til oppgaven.

Jeg er redd du har forvirret meg littegran.
Kunne du skrevet ut hele oppgaven du jobber med?

[Realist1]

Det er egentlig derivasjon, vekstfart som grenseverdi og ikke algebra.

f'(a)= lim f(a+h)-f(a)/h
h->0

f(a+h) = (3+h)

Altså..
[tex]f^{\tiny\prime}(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}[/tex]
??

Dette er definisjonen på den deriverte.
Har dårlig tid nå, så jeg må løpe, men dette var kanskje litt til hjelp.

[Markonan]

Leste gjennom en gang til og det virker som om det er en oppgave der
f(x) = x[sup]3[/sup]. Fra definisjonen skal man finne den deriverte til f(3).

Den generelle definisjonen:
[tex]f^\prime(a) = \lim_{h\rightarrow0}\frac{f(a+h) - f(a)}{h}[/tex]

I dette tilfellet:
[tex]f^\prime(3) = \lim_{h\rightarrow0}\frac{(3+h)^3 - 3^3}{h}[/tex]

Før vi går videre må vi jobbe litt med telleren; og så til det opprinnelige spørsmålet. Enkleste måten å løse denne på er ved kvadratsetningene og Pascal's trekant. Jeg pleier å gange dem ut for hånd. Du klarer å følge med på hva som skjer?
[tex](h+3)^2 = h^2 + 6h + 9[/tex]

[tex](h+3)^3 = (h+3)(h+3)^2 = (h+3)(h^2 + 6h + 9) =\\h(h^2 + 6h + 9) + 3(h^2 + 6h + 9) = h^3 + 6h^2 + 9h + 3h^2 + 18h + 27 =\\h^3 + 9h^2 + 27h + 27[/tex]

Da har vi funnet den første delen av telleren, og den andre blir bare -27. Setter dette inn i definisjonen.

[tex]\lim_{h\rightarrow0}\frac{(3+h)^3 - 3^3}{h} \;=\; \lim_{h\rightarrow0}\frac{h^3 + 9h^2 + 27h + 27 - 27}{h} = \lim_{h\rightarrow0}\frac{h^3 + 9h^2 + 27h}{h}[/tex]

Konstantene gikk mot hverandre, og nå faktoriserer vi ut en h fra telleren som vi stryker mot nevneren.
[tex]\lim_{h\rightarrow0}\frac{\cancel{h}(h^2 + 9h + 27)}{\cancel{h}} \;=\; \lim_{h\rightarrow0}h^2 + 9h + 27 \;=\; 0^2 + 9(0) + 27 \;=\; 27[/tex]

Sjekker dette svaret på "gamlemåten".
[tex]f(x) = x^3 \;\Rightarrow\; f^\prime(x) = 3x^2[/tex]

Fant den deriverte og setter inn x=3.
[tex]f^\prime(3) = 3(3)^2 = 3\cdot9 = 27[/tex] <--Wohoo! Det stemmer.

Håper egentlig ikke dette var oppgaven, for da har jeg gjort alt for deg!
Spør hvis det er noe du er usikker på! Ser langt og skummelt ut, men det er ikke det i det hele tatt!