Prøve i R2 - Følger og rekker

[Realist1]

Tid: 2 skoletimer
Hjelpemidler: Ingen, kun penn og papir.
I alle oppgavene må du vise utregningene for å få full uttelling.

Oppgave 1
I en aritmetisk rekke er det første leddet [tex]\frac12[/tex] og det tredje leddet [tex]\frac76[/tex].

a) Finn differansen [tex]d[/tex] og det 20. leddet i rekken.

b) Finn summen av de 20 første leddene.

c) Vis at summen av de [tex]n[/tex] første leddene i rekken er gitt ved [tex]s_n = \frac{n}6(n+2)[/tex].

d) Bruk formelen fra oppgave c) og finn ved regning hvor mange ledd det er i rekken når summen er lik 4.


Oppgave 2
En uendelig rekke er gitt ved
[tex]e+1+e^{-1}+e^{-2}+\ldots[/tex] der [tex]e[/tex] er eulertallet.

a) Forklar at rekken er geometrisk og konvergerer.

b) Finn et uttrykk for det generelle leddet [tex]a_n[/tex]. Oppgi svaret som et uttrykk av [tex]e[/tex].

c) Vis at summen [tex]s[/tex] av rekken kan skrives
[tex]s=\frac{e^2}{e-1}[/tex]

En annen rekke er gitt ved det generelle leddet [tex]b_n = \ln a_n[/tex], der [tex]a_n[/tex] er det generelle leddet fra oppgave b).
d) Vis at denne rekken er aritmetisk.

e) Finn et uttrykk for summen av de [tex]n[/tex] første leddene.


Oppgave 3
En uendelig geometrisk rekke er gitt ved [tex]5+2x+\frac45 x^2 + \ldots[/tex]

a) Finn konvergensområdet for rekken.

b) Vis at summen [tex]s(x)[/tex] av rekken kan skrives som [tex]s(x) = \frac{25}{5-2x}[/tex].

c) Undersøk ved regning om summen kan være [tex]\frac53[/tex].


Oppgave 4
Vis ved induksjon at
[tex]\frac{1}{1\cdot 2} \ + \ \frac{1}{2\cdot 3} \ + \ \frac{1}{3\cdot 4}\ + \ \cdots \ + \ \frac{1}{n(n+1)} \ = \ \frac{n}{n+1}[/tex]

[Realist1]

Feel free til å poste løsningsforslag på en eller flere oppgaver. Håpet er jo at noen får bruk for dette her.

[Andreas345]

1

a) [tex]a_3=a_1+2\cdot d \Rightarrow \frac{7}{6}=\frac{1}{2}+2d \Rightarrow d=\frac{1}{3}[/tex]

[tex]a_n=\frac{1}{6}+\frac{n}{3}\ \ \ \ a_{20}=\frac{41}{6}[/tex]

b) c)

[tex]s_n=\frac{n\left (a_1+a_n \right )}{2}=\frac{n\left (\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{n}{3}\right )}{2}=\frac{n(n+2)}{6}[/tex]

[tex]s_{20}=\frac{220}{3}[/tex]

d)[tex] s_n=\frac{n(n+2)}{6}=4[/tex]

[tex]n^2+2n-24=0 \Rightarrow n=4 \ \vee \ n=-6[/tex]

[tex]n[/tex] må være større enn null så n=4.

Det er 4 ledd i rekken når summen er 4.

[Realist1]

Oppgave 2
En uendelig rekke er gitt ved
[tex]e+1+e^{-1}+e^{-2}+\ldots[/tex] der [tex]e[/tex] er eulertallet.

a) Forklar at rekken er geometrisk og konvergerer.

b) Finn et uttrykk for det generelle leddet [tex]a_n[/tex]. Oppgi svaret som et uttrykk av [tex]e[/tex].

c) Vis at summen [tex]s[/tex] av rekken kan skrives
[tex]s=\frac{e^2}{e-1}[/tex]

En annen rekke er gitt ved det generelle leddet [tex]b_n = \ln a_n[/tex], der [tex]a_n[/tex] er det generelle leddet fra oppgave b).
d) Vis at denne rekken er aritmetisk.

e) Finn et uttrykk for summen av de [tex]n[/tex] første leddene.

a)

Hvert ledd er lik det foregående leddet multiplisert med kvotienten e[sup]-1[/sup]. Dermed er rekken geometrisk. Siden [tex]-1 \, < \, \frac1e \, < \, 1[/tex] konvergerer rekken.

b)

[tex]a_n = a_1 \cdot k^{n-1} = e \cdot \left(e^{-1}\right)^{n-1} = e \cdot e^{1-n} = \underline{\underline{e^{2-n}}}[/tex]

c)

[tex]s = \frac{a_1}{1-k} = \frac{e}{1 - \frac1e} \, \cdot \, \frac{e}{e} = \frac{e \cdot e}{\left(1 - \frac1e\right)\cdot e} = \frac{e^2}{e-1} \; \; \; \; Q.E.D.[/tex]

d)

[tex]b_1 = \ln e = 1[/tex]
[tex]b_2 = \ln 1 = 0[/tex]
[tex]b_3 = \ln e^{-1} = -1[/tex]
[tex]b_4 = \ln e^{-2} = -2[/tex]
Hvert ledd er lik det foregående minus én. Det stemmer fint med dette uttrykket:
[tex]b_n = \ln a_n = \ln e^{2-n} = 2-n[/tex]
Siden hvert ledd minsker med en fast konstant, -1, er rekken aritmetisk.

e)

[tex]s_n = \frac{n\left(b_1 + b_n\right)}{2} = \frac{n(1+2-n)}{2} = \frac{n(3-n)}{2} = \underline{\underline{\frac{3n - n^2}{2}}}[/tex]