Geometri 4 - Medianer og halveringslinjer

[Nebuchadnezzar]

I en trekant har vi AB=4cm , vinkel B er 90 grader og BC=3cm og S er skjæringspunktet til medianene
Finn et eksakt uttrykk for AS, CS og BS

Har klart å finne AS og CS men sliter med å finne BS...



Jeg kunne selvfølgelig regnet ut vinkel A også brukt cosinus-setningen til å finne BM (M er midtpunktet på AB) også brukt at BS = 2/3 BM

Men dette virker veldig tungvindt, noen som har noen smarte ideèr ?

[arnulf]

Ja, jeg har en veldig smart idé.

[ettam]

Hva er [tex]AS[/tex] og [tex]CS[/tex]?

[tex]|\vec {BS}| = | - \vec {AB} + \vec {AS}|[/tex]

[Nebuchadnezzar]

Kaller midtpunktet på BC for Q da er ABQ en rettvinklet trekant, og hypotenusen er AQ.

[tex]AS=\frac23 AQ=\frac23\sqrt{4^2+\left ( \frac{3}{2}\right )^2\,}=\frac23\sqrt{\frac{73}{4}}=\frac13\sqrt{73}[/tex]

Kaller midtpunktet på AB for R da er RBC en rettvinklet trekant, og hypotenusen er CR

[tex]CS=\frac23CR=\frac23\sqrt{2^2+3^2}=\frac{2}{3}\sqrt{13}[/tex]

Er litt trøtt, men mener at vi lærte at

[tex]\vec{a}+\vec{b}=\vec{ab}[/tex] ikke impliserer at [tex]|\vec{a}|+|\vec{b}|=|\vec{ab}|[/tex]

Altså det at vektorene er like betyr ikke at lengden av vektorene er like. Kanskje du kan oppklare Ettam ?

[Realist1]

[tex]|\vec {BS}| = | - \vec {AB} + \vec {AS}|[/tex]

Nebu, hva er tungvindt med å bruke dette?

[Nebuchadnezzar]

Antakeligvis er jeg dum men

[tex]|\vec{BS}|=|-\vec{AB}+\vec{AS}|[/tex]

[tex]|\vec{BS}|=-4+\frac{1}{3}\sqrt{73}[/tex]

[tex]|\vec{BS}|=\frac{-12+\sqrt{73}}{3}[/tex]

[tex]12=sqrt{144}[/tex] og [tex]sqrt{144}>sqrt{73}[/tex] dermed blir BS negativ... Kan noen forklare meg litt nøyere hva jeg skal gjøre... Vet at dette er feil.

[ettam]

Jeg hadde tenkt å bruke vektorkoordinater til å løse oppgaven, men her er en annen måte:

Pytagoras på trekant [tex]ABC[/tex] gir deg at [tex]AC = 5[/tex]

Midtpunktet på [tex]AC[/tex] kaller jeg [tex]R[/tex]. Siden vinkel [tex]B[/tex] er rettvinklet og [tex]R[/tex] er midtpunktet på [tex]AC[/tex], vil trekantene [tex]ABR[/tex] og [tex]BCR[/tex] alltid være likebeinte. Dette kan vi bruke til å finne lengden av [tex]BR[/tex].

[tex]BR=AR= \frac52[/tex]

Siden [tex]S[/tex] er tyngdepunktet i trekanten er [tex]BS = \frac 23 BR[/tex], slik at:

[tex]\underline{\underline{BR = \frac53}}[/tex]

[ettam]

Nebuchadnezzar: Hjalp det?

Syns vel du kan gi tilbakemelding på hjelpa jeg gir deg.

[Nebuchadnezzar]

Har vært mye borte, altså ikke nok tid til å se over den matten jeg har gjort. Svaret ser ut til å stemme, men må jo forstå det selv og.

Har tre delkapitler igjen, høyder, kordinater og ellipser og rundinger igjen. Når jeg er ferdig med det, skal jeg gå over alle oppgavene jeg ikke har fått til. (Tror det kun er de som jeg har skrevet her) Begynne med blanke ark å prøve å regne meg frem til svaret.
Så om ikke det fungerer skal jeg igjen titte her og spørre.

Tusen hjertelig takk for all hjelpen, det har hjulpet mye ^^

[ettam]

Du kan en del matematikk, Nebuchadnezzar. Derfor forstår jeg ikke helt hvorfor du sto fast med denne oppgaven.

[Charlatan]

Hvis du legger trekanten i det komplekse planet med hjørner a,b og c, så er sentroiden i punktet (a+b+c)/3. (Prøv gjerne å bevise det) Ut ifra det er det lett å finne lengdene.