Heldagsprøve R2 - 22.04.2010

[Realist1]

$c)1)xDivergerern\text{aa}r0<x\le \frac{1}{2}\pi ogxkonvergerern\text{aa}r\frac{1}{2}>x>2\pi$

Hva mener du med at x konvergerer og divergerer?
Forresten, $\frac{1}{2}$ er aldri større enn $2\pi$.
Og divergerer rekken hvis $x=\frac{1}{4}\pi$?

[Auto-n00b]

$c)1)xDivergerern\text{aa}r0<x\le \frac{1}{2}\pi ogxkonvergerern\text{aa}r\frac{1}{2}>x>2\pi$

Hva mener du med at x konvergerer og divergerer?
Forresten, $\frac{1}{2}$ er aldri større enn $2\pi$.
Og divergerer rekken hvis $x=\frac{1}{4}\pi$?

Her menes det som i betydningen "x tilhører intervallet fra 0,5 til 2pi" og "x tilhører intervallet fra 0 til og med 0,5pi".

(Beklager min manglende evne/interesse for å skrive i TEX).

[Realist1]

$c)1)xDivergerern\text{aa}r0<x\le \frac{1}{2}\pi ogxkonvergerern\text{aa}r\frac{1}{2}>x>2\pi$

Hva mener du med at x konvergerer og divergerer?
Forresten, $\frac{1}{2}$ er aldri større enn $2\pi$.
Og divergerer rekken hvis $x=\frac{1}{4}\pi$?

Her menes det som i betydningen "x tilhører intervallet fra 0,5 til 2pi" og "x tilhører intervallet fra 0 til og med 0,5pi".

(Beklager min manglende evne/interesse for å skrive i TEX).

Men variabelen x kan vel verken konvergere eller divergere. Rekken, derimot, kan det.
Og jeg vet hvordan man bruker ulikhetstegn for å markere et intervall, men såvidt meg bekjent er 0,5 > x > 2pi et ugyldig intervall, ettersom 0,5 aldri er > 2pi.

[Nebuchadnezzar]

Innrømmer at innlegget mitt ble veldig rotete...

Skal fikse på det her

$f\left(x\right)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\sin {\left(x\right)}^n$

Rekken konvergerer når $0<x<\frac{1}{2}\pi$
Rekken konvergerer når $\frac{1}{2}\pi <x<2\pi$

Altså konvergerer rekken for alle tall untatt når$x=\frac{1}{2}\pi$

Kan se på dette som summen av en uendelig rekke, siden x befinner seg mellom -1 og 1 kan vi bruke summen av en geometrisk rekke.

$S_n=\frac{a_1}{1-r}$
$S_n=\frac{1}{1-\sin (x)}$

Setter summen lik 2 og løser denne. Håper det gjorde ting litt klarere.

[anlif]

Er det noen fler som har gjort 5C ?
Får pi som svar og ikke pi/2.
Orker ikke skrive, så tar bare bilder av utregninga:
http://bildr.no/view/634095

Litt forklaring:
$f(x)=sin(x),g(x)=cos(x)$
Jeg tenker som så;
Arealet avgrenset av grafene må være arealet under g(x) minus arealet under f(x) fra x = 0 til x = pi/4 (hvor funksjonene krysser hverandre), ganget med to (siden arealet på "andre siden" av avgrensningen er et speilbilde).

Så tenker jeg at volumet avgrenset av disse to funksjonene rotert 360 grader rundt x aksen må være volumet av g(x) om x aksen, minus volumet av f(x) om x aksen, igjen avgrenset fra 0 til pi/4, ganget med 2.

Er jeg helt på bærtur eller er det noen som ser regnefeil osv?

alf

[espen180]

6a)

$$\begin{gathered} y^{\prime }+2xy=2x \\ \frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}=2x(1-y) \\ \int \frac{1}{1-y}\mathrm{d}\mathrm{y}=\int 2\mathrm{x}\mathrm{d}\mathrm{x} \\ -\ln (1-\mathrm{y})={\mathrm{x}}^2+{\mathrm{C}}_0 \\ 1-\mathrm{y}={\mathrm{e}}^{-{\mathrm{x}}^2-{\mathrm{C}}_0}={\mathrm{C}}_1{\mathrm{e}}^{-{\mathrm{x}}^2} \\ \mathrm{y}=1+\mathrm{C}{\mathrm{e}}^{-{\mathrm{x}}^2} \end{gathered}$$

6b)

$$\begin{gathered} y^{\prime }+2xy=2x \\ IF=e^{x^2} \\ {(y\cdot e^{x^2})}^{\prime }=2x{e}^{x^2} \\ y\cdot e^{x^2}=e^{x^2}+C \\ y=1+C{e}^{-x^2} \end{gathered}$$

6c)

$$\begin{gathered} 1+C{e}^0=0 \\ 1+C=0 \\ C=-1 \\ y=1-e^{x^2} \end{gathered}$$

[anlif]

Innrømmer at innlegget mitt ble veldig rotete...

Skal fikse på det her

$f\left(x\right)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\sin {\left(x\right)}^n$

Rekken konvergerer når $0<x<\frac{1}{2}\pi$
Rekken konvergerer når $\frac{1}{2}\pi <x<2\pi$

Altså konvergerer rekken for alle tall untatt når$x=\frac{1}{2}\pi$

Den konvergerer vel heller ikke når x = 3pi/2?
Jeg så bare på ulikheten ved hjelp av enhetssirkelen. Da ser du fort i hvilke intervall -1 < sinx < 1

[espen180]

Dersom $x=\frac{3\pi }{2}$ vil rekken divergere mellom 1 og 0.

[3DG3]

@anlif

Jeg løste i alle fall 5b) slik:
sin x = cos x (skjæringspunkt)
tan x = 1 => x= 0,785 og 0,785+[symbol:pi]=3,926
på skissen ser vi at det er to speilvente figurer
A= 2 * [sup]3,926[/sup][symbol:integral][sub]0,785[/sub] (sin x - cos x) dx= 2*(2,83)=5,66

[Janhaa]

Er det noen fler som har gjort 5C ?
Får pi som svar og ikke pi/2.
Orker ikke skrive, så tar bare bilder av utregninga:
http://bildr.no/view/634095
Litt forklaring:
$f(x)=sin(x),g(x)=cos(x)$
Jeg tenker som så;
Arealet avgrenset av grafene må være arealet under g(x) minus arealet under f(x) fra x = 0 til x = pi/4 (hvor funksjonene krysser hverandre), ganget med to (siden arealet på "andre siden" av avgrensningen er et speilbilde).
Så tenker jeg at volumet avgrenset av disse to funksjonene rotert 360 grader rundt x aksen må være volumet av g(x) om x aksen, minus volumet av f(x) om x aksen, igjen avgrenset fra 0 til pi/4, ganget med 2.
Er jeg helt på bærtur eller er det noen som ser regnefeil osv?
alf

trur arealet blir
5b)
$A={\int }_0^{0.785}(\cos x-\sin x)dx=\sqrt{2}-1$
-------------

og volumet
5c)

$V=\pi ({\int }_0^{0.785}(\cos x{)}^{2}dx-{\int }_0^{0,785}(\sin x{)}^{2}dx)=\frac{\pi }{2}$

[anlif]

Ach... nå ser jeg jo at arealet avgrenset går jo faktisk bare frem til der hvor grafene krysser. Tenkte siden definisjonsmengden var frem til pi/2, skulle jeg ta med arealet videre og. Da kan jeg jo bare droppe å gange med to, så blir det rett.

[3DG3]

Jeg bør virkelig lære meg å lese oppgaven riktig...

[bartimeus25]

Ok, da er jeg nesten ferdige med løsningsforslag.
Gadd ikke skrive latex her på forum så brukte word med mathtype.
Løsningsforslag er fra oppgave 1 -4. Orket ikke å skrive løsning for oppgave 5 og 6 da det allerde er løst av andre brukere.
Jeg vet ikke hvordan man legger den på forum. så dere må laste ned fra denne side:
Som doc dokument:
http://uploading.com/files/m99m9m47/Hel ... rslag.doc/

Som pdf dokument:
http://uploading.com/files/419d7131/Hel ... rslag.pdf/

Håper noen vil se gjennom og komme med tilbakemeldinger

[bartimeus25]

Er det ingen som gidder å rette mitt løsningsforslag
Hadde vært kjekt om noen kunne