Invers Laplace transform

[matte90]

Hei, trenger hjelp til to oppgaver om invers laplace transform

1) (e^-2s)/((s^s)+2s+2)


2) (2)/((s^2)+2s+2)

Kunne noen vist meg framgangsmåten og forklart meg litt...Sikkert "enkelt" når en først kan det

[fish]

Vi kan skrive nevneren slik:
$s^2+2s+2=(s+1{)}^2+1^2$ som gir (bruk tabell)
${\mathcal{L}}^{-1}(\frac{1}{s^2+2s+2})=e^{-t}\sin t$

Når man multipliserer transformen med $e^{-2s}$ svarer det til translasjon 2 tidsenheter. Dette gir

${\mathcal{L}}^{-1}\left(\frac{e^{-2s}}{s^2+2s+2}\right)=e^{-(t-2)}\sin (t-2)\cdot u(t-2)$

[matte90]

Takk for hjelpen!

Men, jeg lurer på hvorfor du velger å bruke sin med en gang. Hvorfor kan ikke laplacetransformen til cos gjelde her? Og hvordan vet en hvilken som er riktig? Sin og cos sine laplace-transformer er jo nesten lik, bare at cos har s-"betta" i telleren...

[fish]

Vel, siden vi har

$\mathcal{L}(e^{at}\sin (\alpha t))=\frac{\alpha }{(s-a{)}^2+{\alpha }^2}$

er det bare å velge $\alpha =1$. Vi har jo ingen $s$ i telleren, og da kan vi heller ikke få noe uttrykk med cosinus når vi inverstransformerer.

[matte90]

oki Trenger visst ikke å gjøre det vanskeligere enn det er, jeg som tenker FOR komplisert