Terminprøve R1 Våren 2010
Del 1 (2timer)
Oppgave 1
a) Deriver funksjonene
[tex]\qquad[/tex]1) [tex]f(x)\,=\,x\cdot \ln(4x)[/tex]
[tex]\qquad[/tex]2) [tex]g(x)\,=\,6(5-x)^3[/tex]
b) Finn grenseverdien dersom den eksisterer
[tex]\lim_{x\to7}\,\frac{x^2-49}{2x-14}[/tex]
c) Skriv så enkelt som mulig:[tex] \qquad \ln\left(\frac{9}{x^3}\right)+\ln\left(\frac{x}{3}\right)+\ln(x^2)[/tex]
d) La f være polynomfunksjonen gitt ved [tex]f(x)\,=\,x^3-3x^2-10x+24[/tex]
1) Regn ut [tex]f(2)[/tex] og faktoriser [tex]f(x)[/tex] i linære faktorer
2) Løs ulikheten [tex]f(x)<0[/tex]
e) figuren viser grafen til en funksjon [tex]f[/tex] med to asymptoter. Bruk figuren til å tegne fortegnslinje for [tex]f(x)[/tex], den førstederiverte og den andrederiverte. Bestem verdimengden til funksjonen
Oppgave 2
Slå en sirkel på innføringsarket. anta at vi ikke kjenner beliggenheten av sentrum til sirkelen. Vis ved konstruksjon hvordan vi kan finne sentrum.
Merk av et punkt [tex]T[/tex] utenfor sirkelen. Konstruer tangentene fra [tex]T [/tex]til sirkelen.
Oppgave 3
a) forklar hvorfor vektorene [tex][a,b][/tex] og [tex][-b,a][/tex] står vinkelrett på hverandre
b) Trekanten [tex]PQR[/tex] har hjørnene [tex]P(1,2) \; , \; Q(9,3) \; , \; R(9,-4)[/tex]
Bestem vektorene [tex]\; \vec{PR} \; , \; \vec{QR}[/tex] og [tex]|\vec{PR}|[/tex]
c) Undersøk ved regning om [tex]\vec{PR}[/tex] står vinkelrett på [tex]\vec{QR}[/tex]
d) Finn en parameterframstilling for linja [tex]l[/tex] gjennom [tex]P[/tex] og [tex]Q[/tex]
e) Finn et punkt [tex]N[/tex] på [tex]l[/tex] slik at [tex]PQ \, \bot \,RN[/tex]
f) Finn likninga for linja [tex]m[/tex] gjennom [tex]R[/tex] og [tex]N[/tex]
Terminprøve R1 Våren 2010
Moderatorer: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga
-
- Fibonacci
- Innlegg: 5648
- Registrert: 24/05-2009 14:16
- Sted: NTNU
Sist redigert av Nebuchadnezzar den 26/04-2010 16:28, redigert 3 ganger totalt.
"Å vite hva man ikke vet er og en slags allvitenhet" - Piet Hein
https://s.ntnu.no/Integralkokeboken
Lektor - Matematikk, Fysikk og Informatikk
https://s.ntnu.no/Integralkokeboken
Lektor - Matematikk, Fysikk og Informatikk
-
- Fibonacci
- Innlegg: 5648
- Registrert: 24/05-2009 14:16
- Sted: NTNU
Del 2 (Tre timer)
Oppgave 4
Funksjonen [tex]f(x)[/tex] er gitt ved [tex]f(x)=x^4+2x^3-5x^2[/tex]
a) Finn nullpunktene til funksjonen og skjæringspunktet med y aksen
b) Finn [tex]f^{\tiny\prime}(x)[/tex] , tegn et fortegnsskjema for den deriverte og finn topp. og bunnpunktene til funksjonen
c) Finn [tex]f^{\tiny\prime\tiny\prime}(x)[/tex] og bestem hvordan grafen krummer.
d) Bestem vendetetangentene til [tex]f[/tex].
e) Tegn grafen til [tex]f[/tex] med vendetangenter
f) Vi har likningen [tex]f(x)\,=\,k[/tex]. Bestem for hvilke [tex]k[/tex]-verdier som gir [tex]0\,,\,1\,,\,2\,,\,3[/tex] og [tex]4[/tex] løsninger.
Oppgave 5
En partikkel følger banen til vektorfunksjonen gitt ved [tex]\vec{\,r(t)\,}\,=\,[4t^2-5t\,,\,2e^t][/tex]
der [tex]t[/tex] er tiden målt i sekunder
a) Bestem hvor partikkelen er etter [tex]2[/tex] sekunder.
b) Bestem farten etter [tex]2[/tex] sekunder.
c) Finn akselerasjonsvektoren og bestem akselerasjonen etter 3 sekunder.
d) Avgjør om fartvektoren er paralell med aksene for noen verdier av t.
e) Bestem hvor kurven skjærer aksene.
f) Skisser kurven for [tex]t\in [0\,,\,2][/tex]
Oppgave 6
Et legefirma prøver ut en ny blodprøvetype for fugleinfluensa. Prøven vil oppdage fugleinfluense i [tex]90\percen[/tex]t avv tilfellene, men i tillegg så vil den gi en såkalt falsk positiv prøve i [tex]5\percent[/tex] av tilfellene der folk ikke har fugleinfluensa. Vi antar at [tex]4\percen[/tex]t av befolkningen under et utbrudd kan ha fugleinfluensa, og vi har dermed disse hendelsene:
F: "Personen har fugleinfluensa"
T: "Personen tester positivt for fugleinfluensa
Vi har dermed [tex]P(F)\,=\,0,04\;,\;P(T|F)\,=\,90[/tex] og [tex]P(T|\overline{F})[/tex]
a) Finn [tex]P(F \, \cap \, T)\;,\;P(T)[/tex] og [tex]P(\overline{F} \, \cup \, T) [/tex]
b) En person tester positivt for fugleinfluensa. Hva er sannsynligheten for at personen faktisk har fugleinfluensa?
Dersom en person har fugleinfluensa, så vil personen bli bedre av seg i [tex]80\percent[/tex] av tilfellene.
Vi ser på en klasse med [tex]23[/tex] elever og antar at alle sammen har fått fugleinfluensa.
c) Hvor stor sannsynlighet er det for at minst [tex]5[/tex] elever kommer til å trenger legebehandling i denne klassen?
d) Hva er det mest sannsynlige antallet elever som trenger legehjelp i denne klassen ?
Oppgave 4
Funksjonen [tex]f(x)[/tex] er gitt ved [tex]f(x)=x^4+2x^3-5x^2[/tex]
a) Finn nullpunktene til funksjonen og skjæringspunktet med y aksen
b) Finn [tex]f^{\tiny\prime}(x)[/tex] , tegn et fortegnsskjema for den deriverte og finn topp. og bunnpunktene til funksjonen
c) Finn [tex]f^{\tiny\prime\tiny\prime}(x)[/tex] og bestem hvordan grafen krummer.
d) Bestem vendetetangentene til [tex]f[/tex].
e) Tegn grafen til [tex]f[/tex] med vendetangenter
f) Vi har likningen [tex]f(x)\,=\,k[/tex]. Bestem for hvilke [tex]k[/tex]-verdier som gir [tex]0\,,\,1\,,\,2\,,\,3[/tex] og [tex]4[/tex] løsninger.
Oppgave 5
En partikkel følger banen til vektorfunksjonen gitt ved [tex]\vec{\,r(t)\,}\,=\,[4t^2-5t\,,\,2e^t][/tex]
der [tex]t[/tex] er tiden målt i sekunder
a) Bestem hvor partikkelen er etter [tex]2[/tex] sekunder.
b) Bestem farten etter [tex]2[/tex] sekunder.
c) Finn akselerasjonsvektoren og bestem akselerasjonen etter 3 sekunder.
d) Avgjør om fartvektoren er paralell med aksene for noen verdier av t.
e) Bestem hvor kurven skjærer aksene.
f) Skisser kurven for [tex]t\in [0\,,\,2][/tex]
Oppgave 6
Et legefirma prøver ut en ny blodprøvetype for fugleinfluensa. Prøven vil oppdage fugleinfluense i [tex]90\percen[/tex]t avv tilfellene, men i tillegg så vil den gi en såkalt falsk positiv prøve i [tex]5\percent[/tex] av tilfellene der folk ikke har fugleinfluensa. Vi antar at [tex]4\percen[/tex]t av befolkningen under et utbrudd kan ha fugleinfluensa, og vi har dermed disse hendelsene:
F: "Personen har fugleinfluensa"
T: "Personen tester positivt for fugleinfluensa
Vi har dermed [tex]P(F)\,=\,0,04\;,\;P(T|F)\,=\,90[/tex] og [tex]P(T|\overline{F})[/tex]
a) Finn [tex]P(F \, \cap \, T)\;,\;P(T)[/tex] og [tex]P(\overline{F} \, \cup \, T) [/tex]
b) En person tester positivt for fugleinfluensa. Hva er sannsynligheten for at personen faktisk har fugleinfluensa?
Dersom en person har fugleinfluensa, så vil personen bli bedre av seg i [tex]80\percent[/tex] av tilfellene.
Vi ser på en klasse med [tex]23[/tex] elever og antar at alle sammen har fått fugleinfluensa.
c) Hvor stor sannsynlighet er det for at minst [tex]5[/tex] elever kommer til å trenger legebehandling i denne klassen?
d) Hva er det mest sannsynlige antallet elever som trenger legehjelp i denne klassen ?
Sist redigert av Nebuchadnezzar den 02/05-2010 19:56, redigert 7 ganger totalt.
"Å vite hva man ikke vet er og en slags allvitenhet" - Piet Hein
https://s.ntnu.no/Integralkokeboken
Lektor - Matematikk, Fysikk og Informatikk
https://s.ntnu.no/Integralkokeboken
Lektor - Matematikk, Fysikk og Informatikk
-
- Fibonacci
- Innlegg: 5648
- Registrert: 24/05-2009 14:16
- Sted: NTNU
[tex]\mathcal{FASIT}[/tex]
Oppgave 1
a) Deriver funksjonene
[tex]\qquad[/tex]1) [tex]\,f(x)\,=\,x\cdot \ln(4x)[/tex]
[tex]\qquad \qquad[/tex] [tex]f^{\tiny\prime}(x)\,=\,1\cdot \ln(4x)+x\cdot\frac{1}{4x}\cdot4[/tex]
[tex]\qquad \qquad[/tex] [tex]f^{\tiny\prime}(x)\,=\ln(4x)+1[/tex]
[tex]\qquad[/tex]2) [tex]g(x)\,=\,6(5-x)^3[/tex]
[tex]\qquad \qquad [/tex] [tex]g^{\tiny\prime}(x)\,=(6)(3)(5-x)^2(-1)[/tex]
[tex]\qquad \qquad [/tex] [tex]g^{\tiny\prime}(x)\,=-18(5-x)^2[/tex]
b) Finn grenseverdien dersom den eksisterer
[tex]\lim_{x\to7}\,\frac{x^2-49}{2x-14} \; \Leftrightarrow \, \lim_{x\to7}\,\frac{2x}{x}\; \Leftrightarrow \, \lim_{x\to7} x \; \Leftrightarrow \, 7[/tex]
Bruker L`hôpital pga grenseverdien er på [tex]\frac{0}{0}[/tex] form
[tex]\lim_{x\to7}\,\frac{x^2-49}{2x-14}\; \Leftrightarrow \, \lim_{x\to7}\,\frac{x^2-7^2}{2x-2\cdot7} \; \Leftrightarrow \, \lim_{x\to7}\,\frac{(x-7)(x+7)}{2(x-7)} \; \Leftrightarrow \, \lim_{x\to7}\,\frac{x+7}{2}\; \Leftrightarrow \, \frac{7+7}{2}\; \Leftrightarrow \,7[/tex]
c) Skriv så enkelt som mulig:
[tex] \qquad \ln\left(\frac{9}{x^3}\right)+\ln\left(\frac{x}{3}\right)+\ln(x^2)\,= \, \ln \left( \frac{9}{x^3} \cdot \frac{x}{3} \cdot x^2\right)\, = \, \ln(3)[/tex]
d) La f være polynomfunksjonen gitt ved [tex]f(x)\,=\,x^3-3x^2-10x+24[/tex]
1) Regn ut [tex]f(2)[/tex] og faktoriser [tex]f(x)[/tex] i linære faktorer
[tex]f(x)\,=\,x^3-3x^2-10x+24[/tex]
[tex]f(2)\,=\,\left(2^3\right)-3\left(2^2\right)-10\left(2\right)+24[/tex]
[tex]f(2)\,=\,8-12-20+24[/tex]
[tex]f(2)\,=\,0[/tex]
[tex]x^3-3x^2-10x+24 \, : \, x-2 \; = \; x^2-x-12[/tex]
[tex]\underline{x^3-2x^2 \qquad \qquad \qquad \qquad} [/tex]
[tex]\,\,\,\;\, - \; x^2+2x[/tex]
[tex]\underline{\,\,\,\;\, - \; x^2 -12x \qquad \qquad \qquad \qquad}[/tex]
[tex]\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \, -12x+24[/tex]
[tex]\underline{\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \, -12x+24 \qquad \qquad}[/tex]
[tex]\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \, \theta[/tex]
[tex]f(x)\,=\,x^3-3x^2-10x+24[/tex]
[tex]f(x)\,=\,(x-2)(x^2-x-12)[/tex]
[tex]f(x)\,=\,(x-2)(x-4)(x+3) \qquad \qquad[/tex] pga [tex](-4)(3)=-12\,[/tex] og [tex]\,(-4)+(3)=-1[/tex]
2) Løs ulikheten [tex]f(x)<0[/tex]
______-4______-3______-2______-1______0______1______2______3______4______5
x+3 -----------------0________________________________________________________
x-2 ----------------------------------------------------------------------------0____________________
x-4----------------------------------------------------------------------------------------------------0_____
f(x)-------------------0___________________________________0----------------------0______
[tex]f(x)<0[/tex] når [tex]x<-3[/tex] eller [tex]2<x<4[/tex]
e) figuren viser grafen til en funksjon [tex]f[/tex] med to asymptoter. Bruk figuren til å tegne fortegnslinje for [tex]f(x)[/tex], den førstederiverte og den andrederiverte. Bestem verdimengden til funksjonen
Ganske nytteløs uten graf, skal tegne graf snart...
Oppgave 2
Slå en sirkel på innføringsarket. anta at vi ikke kjenner beliggenheten av sentrum til sirkelen. Vis ved konstruksjon hvordan vi kan finne sentrum.
Merk av et punkt [tex]T[/tex] utenfor sirkelen. Konstruer tangentene fra [tex]T [/tex]til sirkelen.
http://www.2shared.com/file/2sCkEqMh/Sentrum.html
1. Plasser et vilkårlig punkt P utenfor sirkelen
2. sett passerspissen i punktet og slå en bue som skjærer sirkelen
3. Marker skjæringspunktene, og finn midtpunktet mellom dem
4. Trekk ei linje gjennom punkt P og midtpunktet (Dette er diameteren)
5. Sett av skjæringspunktet mellom sirkelen og linja
6. Konstruer midtnormalen mellom skjæringspunktene, dette er sentrum
![Bilde](http://img232.imageshack.us/img232/8372/b6b1c6461e.gif)
1. Plasser tre vilkårlige punkt på sirkelen.
2. Tegn en trekant med hjørner i disse punktene
3. Finn midtnormalen til to av sidene i trekanten
4. Skjæringspunktet mellom disse linjene er sentrum
To alternative måter
http://www.youtube.com/watch?v=YOJbWo41gU0
http://www.youtube.com/watch?v=7kMFjXtAWAY
![Bilde](http://img717.imageshack.us/img717/8646/animd61a36f0ddbf3bd4dd9.gif)
Vi antar at vi kjenner sentrum i sirkelen
1. Vi plasserer et vilkårlig punkt T utenfor sirkelen
2. Vi finner midtpunktet mellom sentrum av sirkelen og T
3. Vi konstruerer en sirkel med sentrum i midtpunktet or radius til T
4. Skjæringspunktet mellom disse to sirklene er Tangeringspunktet til T
Oppgave 3
a) forklar hvorfor vektorene [tex][a,b][/tex] og [tex][-b,a][/tex] står vinkelrett på hverandre
To vinkler er ortogonale, dersom kryssproduktet er null
[tex]\vec{a}\bot\vec{b}\,\Leftrightarrow\,\vec{a}\cdot\vec{b}=0[/tex]
[tex]\vec{a}\cdot\vec{b}=0\,\Leftrightarrow\, [a,b][-b,a] = 0 \,\Leftrightarrow\, (a)(-b)+(a)(b)=0\,\Leftrightarrow\, -ab+ab=0\,\Leftrightarrow\, 0=0[/tex]
b) Trekanten [tex]PQR[/tex] har hjørnene [tex]P(1,2) \; , \; Q(9,3) \; , \; R(9,-4)[/tex]
Bestem vektorene [tex]\; \vec{PR} \; , \; \vec{QR}[/tex] og [tex]|\vec{PR}|[/tex]
[tex] \vec {PR} = \vec {OR} - \vec {OP} = [9, - 4] - [1,2] = [8, - 6] [/tex]
[tex] \vec {QR} = \vec {OR} - \vec {OQ} = [9, - 4] - [9,3] = [0, - 7] [/tex]
[tex] \left| {\vec {PR} } \right| = \sqrt {\,\vec {PR} ^2 \;} = \sqrt {\left( 8 \right)^2 + \left( { - 6} \right)^2 } = \sqrt {64 + 36} = \sqrt {100} = 10 [/tex]
c) Undersøk ved regning om [tex]\vec{PR}[/tex] står vinkelrett på [tex]\vec{QR}[/tex]
[tex]\vec {QR} \bot \vec {PR} \Leftrightarrow \vec {QR} \cdot \vec {PR} = 0 \Leftrightarrow [8, - 6] \cdot [0, - 7] \Leftrightarrow (8)(0) + \left( { - 6} \right)\left( { - 7} \right) \Leftrightarrow 42 [/tex] Nei, [tex]\vec {QR}[/tex] står ikke vinkelrett på [tex]\vec {PR}[/tex]
d) Finn en parameterframstilling for linja [tex]l[/tex] gjennom [tex]P[/tex] og [tex]Q[/tex]
[tex] \vec{PQ} = \vec {OQ} - \vec {OP} = [9,3] - [1,2] =[8,1] [/tex]
[tex]l:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 8t \\ y = 2 + 1t \\ \end{array} \right.[/tex]
e) Finn et punkt [tex]N[/tex] på [tex]l[/tex] slik at [tex]PQ \, \bot \,RN[/tex]
[tex]\vec {ON} = \vec{OP} + \vec {PQ} \cdot t = \left[ {1,2} \right] + \left[ {8,1} \right]t = \left[ {8t + 1,t + 2} \right] [/tex]
[tex] RN = \vec {ON} - \vec {OR} = \left[ {8t + 1,t + 2} \right] - \left[ {9, - 4} \right] = \left[ {8t - 8,t + 6} \right] [/tex]
[tex] \vec{PQ} \bot \vec {RN} \Leftrightarrow \vec {PQ} \cdot \vec {RN} = 0 \Leftrightarrow \left[ {8,1} \right]\left[ {8t - 8,t + 6} \right] = 0 \Leftrightarrow 64t - 64 + t + 6 = 0 \Leftrightarrow t = \frac{{58}}{{65}}[/tex]
[tex] \vec {ON} = \left[ {8t + 1,t + 2} \right] = \left[ {8\frac{{58}}{{65}} + 1,\frac{{58}}{{65}} + 2} \right] = \left[ {\frac{{529}}{{65}},\frac{{188}}{{65}}} \right] \Rightarrow N\left( {\frac{{529}}{{65}},\frac{{188}}{{65}}} \right) [/tex]
f) Finn likninga for linja [tex]m[/tex] gjennom [tex]R[/tex] og [tex]N[/tex]
[tex] N\left( {\frac{{529}}{{65}},\frac{{188}}{{65}}} \right) [/tex]
[tex] RN = \left[ {8t - 8,t + 6} \right] = \left[ {8\left( {\frac{{58}}{{65}}} \right) - 8,\frac{{58}}{{65}} + 6} \right] = \left[ { - \frac{{56}}{{65}},{\rm{ }}\frac{{448}}{{65}}} \right] [/tex]
[tex]m:\left\{ \begin{array}{l}x = 9 - \frac{{56}}{{65}}t \\ y = - 4 + \frac{{448}}{{65}}t \\ \end{array} \right\}{\rm{ og }}x = 9 - \frac{{56}}{{65}}t \Rightarrow t = - \frac{{65}}{{56}}x + \frac{{585}}{{56}}[/tex]
[tex] y = - 4 + \frac{{448}}{{65}}t \Rightarrow y = - 4 + \left( {\frac{{448}}{{65}}} \right)\left( { - \frac{{65}}{{56}}x + \frac{{585}}{{56}}} \right) \Rightarrow y = - 4 - \frac{{448}}{{56}}x + 72 \Rightarrow y = - 8x + 68 [/tex]
Del 2 (Tre timer)
Oppgave 4
Funksjonen [tex]f(x)[/tex] er gitt ved [tex]f(x)=x^4+2x^3-5x^2[/tex]
a) Finn nullpunktene til funksjonen og skjæringspunktet med y aksen
[tex] f(x) = x^4 + 2x^3 - 5x^2 [/tex]
[tex] f(x) = x^2 \left( {x^2 + 2x - 5} \right) [/tex]
[tex] x = \frac{{ - b \pm \sqrt {b^2 - 4ac} }}{{2a}} = \frac{{ - \left( 2 \right) \pm \sqrt {\left( 2 \right)^2 - 4\left( 1 \right)\left( { - 5} \right)} }}{{2\left( 1 \right)}} = \frac{{ - 2 \pm \sqrt {24} }}{2} = \frac{{ - 2 \pm 2\sqrt 6 }}{2} = - 1 \pm \sqrt 6 [/tex]
[tex] Nullpunktene{\rm{ }}til{\rm{ }}f(x){\rm{ }}er{\rm{ }}x = 0{\rm{ }} \vee {\rm{ }} - 1 \pm \sqrt 6 [/tex]
b) Finn [tex]f^{\tiny\prime}(x)[/tex] , tegn et fortegnsskjema for den deriverte og finn topp. og bunnpunktene til funksjonen
[tex] f\left( x \right) = x^4 + 2x^3 - 5x^2 [/tex]
[tex] f^{\tiny\prime}\left( x \right) = 4x^3 + 6x^2 - 10x [/tex]
[tex] f^{\tiny\prime}\left( x \right) = \left( {2x} \right)\left( {2x^2 + 3x - 5} \right) [/tex]
[tex] x = \frac{{ - b \pm \sqrt {b^2 - 4ac} }}{{2a}} = \frac{{ - \left( 3 \right) \pm \sqrt {\left( 3 \right)^2 - \left( 4 \right)\left( 2 \right)\left( { - 5} \right)} }}{{2\left( 2 \right)}} = \frac{{ - 3 \pm \sqrt {49} }}{4} = \frac{{ - 3 \pm 7}}{4} = 1 \vee - \frac{5}{2} [/tex]
[tex]f\left( 1 \right) = \left( 1 \right)^4 + 2\left( 1 \right)^3 - 5\left( 1 \right)^2 = - 2 [/tex]
[tex] f\left( 0 \right) = \left( 0 \right)^4 + 2\left( 0 \right)^3 - 5\left( 0 \right)^2 = 0 [/tex]
[tex] f\left( { - \frac{5}{2}} \right) = \left( { - \frac{5}{2}} \right)^4 + 2\left( { - \frac{5}{2}} \right)^3 - 5\left( { - \frac{5}{2}} \right)^2 = \left( { \frac{{625}}{{16}}} \right) + \left( { - \frac{{125}}{4}} \right) - \left( { \frac{{125}}{4}} \right) = - \frac{{375}}{{16}}[/tex]
_________-3______-5/2______-2______-1______0______1______2______
[tex]2x+5[/tex]-------------------0___________________________________________
[tex]x[/tex]---------------------------------------------------------------0____________________
[tex]x-1[/tex]-----------------------------------------------------------------------0_____________
[tex]f(x)[/tex]-----------------------0______________________0----------0_____________
[tex]f(x)[/tex] har bunnpunktene [tex]\left( -\frac{5}{2} \, , \, - \frac{{625}}{{16}} \right)[/tex] og [tex]\left( 1 \, , \, -2 \right)[/tex]
[tex]f(x)[/tex] har toppunktet [tex]\left( 0 \, , \, 0 \right)[/tex]
c) Finn [tex]f^{\tiny\prime\tiny\prime}(x)[/tex] og bestem hvordan grafen krummer.
[tex] f^{\tiny\prime}\left( x \right) = 4x^3 + 6x^2 - 10x [/tex]
[tex] f^{\tiny\prime\tiny\prime}\left( x \right) = 12x^2 + 12x - 10 = 2\left( {6x^2 + 6x - 5} \right)[/tex]
[tex] x = \frac{{ - b \pm \sqrt {b^2 - 4ac} }}{{2a}} = \frac{{ - \left( 6 \right) \pm \sqrt {\left( 6 \right)^2 - 4\left( 6 \right)\left( { - 15} \right)} }}{{2\left( 6 \right)}} = \frac{{ - 6 \pm \sqrt {156} }}{{12}} = \frac{{ - 3 \pm \sqrt {39} }}{6} [/tex]
[tex] f\left( x \right){\rm{ }}er{\rm{ }}konveks{\rm{ }}n{\aa}r{\rm{ }}x < \frac{{ - 3 - \sqrt {39} }}{6}{\rm{ }}eller{\rm{ }}x > \frac{{ - 3 + \sqrt {39} }}{6} [/tex]
[tex] f\left( x \right){\rm{ }}er{\rm{ }}konkav{\rm{ }}n{\aa}r{\rm{ }}\frac{{ - 3 - \sqrt {39} }}{6} < x < \frac{{ - 3 + \sqrt {39} }}{6} [/tex]
d) Bestem vendetetangentene til [tex]f[/tex].
[tex] f\left( x \right) = x^4 + 2x^3 - 5x^2{\rm{ og }}f\left( {\frac{{ - 3 - \sqrt {39} }}{6}} \right) = - \frac{{11}}{{36}} - \frac{2}{9}\sqrt {39} {\rm{ og }}f\left( {\frac{{ - 3 + \sqrt {39} }}{6}} \right) = - \frac{{11}}{{36}} + \frac{2}{9}\sqrt {39} {\rm{ }} [/tex]
[tex] f^{\tiny\prime}\left( x \right) = 4x^3 + 6x^2 - 10x{\rm{ og }}f^{\tiny\prime}\left( {\frac{{ - 3 - \sqrt {39} }}{6}} \right) = 10 - \frac{5}{9}\sqrt {39} {\rm{ og }}f^{\tiny\prime}\left( {\frac{{ - 3 + \sqrt {39} }}{6}} \right) = 10 + \frac{5}{9}\sqrt {39} [/tex]
[tex] y = a\left( {x - x_1 } \right) + y_1 [/tex]
[tex] y_a = \left( {10 - \frac{5}{9}\sqrt {39} } \right)\left( {x - \frac{{ - 3 - \sqrt {39} }}{6}} \right) + \left( { - \frac{{11}}{{36}} - \frac{2}{9}\sqrt {39} } \right){\rm{ og }}y_b = \left( {10 + \frac{5}{9}\sqrt {39} } \right)\left( {x - \frac{{ - 3 + \sqrt {39} }}{6}} \right) + \left( { - \frac{{11}}{{36}} + \frac{2}{9}\sqrt {39} } \right) [/tex]
[tex] y_a = 10\,x - \frac{{107}}{{12}} + \frac{{31}}{{18}}\,\sqrt {39} - \frac{5}{9}\,\sqrt {39} x{\rm{ og }}y_b = 10\,x - \frac{{107}}{{12}} - \frac{{31}}{{18}}\,\sqrt {39} + \frac{5}{9}\,\sqrt {39} x [/tex]
[tex] {\rm{Vendetangenten i punktet }}\frac{{ - 3 - \sqrt {39} }}{6}{\rm{ er y = }}10\,x - \frac{{107}}{{12}} + \frac{{31}}{{18}}\,\sqrt {39} - \frac{5}{9}\,\sqrt {39} x [/tex]
[tex] {\rm{Vendetangenten i punktet }}\frac{{ - 3 + \sqrt {39} }}{6}{\rm{ er }}\,y=10\,x - \frac{{107}}{{12}} - \frac{{31}}{{18}}\,\sqrt {39} + \frac{5}{9}\,\sqrt {39} x [/tex]
f) Vi har likningen [tex]f(x)\,=\,k[/tex]. Bestem for hvilke [tex]k[/tex]-verdier som gir [tex]0\,,\,1\,,\,2\,,\,3[/tex] og [tex]4[/tex] løsninger.
[tex] Ingen{\rm{ }}l{\o}sning{\rm{ }}n{\aa}r{\rm{ }}k < - \frac{{625}}{{16}} [/tex]
[tex] En{\rm{ }}l{\o}sning{\rm{ }}n{\aa}r{\rm{ }}k = \frac{{625}}{{16}} [/tex]
[tex] To{\rm{ }}l{\o}sninger{\rm{ }}n{\aa}r{\rm{ }} - \frac{{625}}{{16}} > k > - 2{\rm{ }} \vee {\rm{ }}k > 0 [/tex]
[tex] Tre{\rm{ }}l{\o}sninger{\rm{ }}n{\aa}r{\rm{ }}k = 0{\rm{ }} \vee {\rm{ }}k = - 2 [/tex]
[tex] Fire{\rm{ }}l{\o}sninger{\rm{ }}n{\aa}r{\rm{ }}0 > k > - 2[/tex]
Oransje linjer, er for å illustrere antall løsninger for forskjellige verdier av k
Blå linjer, er vendetangenter, svarte er nullpunkter og grønne er ekstremalpunkter.
![Bilde](http://img687.imageshack.us/img687/9550/oppgave4.png)
Oppgave 5
En partikkel følger banen til vektorfunksjonen gitt ved [tex]\vec{\,r(t)\,}\,=\,[4t^2-5t\,,\,2e^t][/tex]
der [tex]t[/tex] er tiden målt i sekunder
a) Bestem hvor partikkelen er etter [tex]2[/tex] sekunder.
[tex]\vec{r\left( t \right)} = \left[ {4t^2 - 5t,2e^t } \right][/tex]
[tex] \vec {r\left( 2 \right)} = \left[ {4 \cdot 2^2 - 5 \cdot 2,2e^2 } \right] = \left[ {6,2e^2 } \right] \approx \left[ {6,{\rm{14}}{\rm{.778}}} \right] [/tex]
b) Bestem farten etter [tex]2[/tex] sekunder.
[tex]b)v\left( t \right) = \left| {r^{\tiny\prime}\left( t \right)} \right| = \sqrt {\left( {8t - 5} \right)^2 + \left( {2e^t } \right)^2 } = \sqrt {64t^2 - 80t + 25 + 4e^{2t} } [/tex]
[tex] v\left( 2 \right) = \sqrt {64 \cdot 2^2 - 80 \cdot 2 + 25 + 4e^{2t} } = \sqrt {121 + 4e^4 } \approx {\rm{18}}{\rm{.42261111}}m/s [/tex]
c) Finn akselerasjonsvektoren og bestem akselerasjonen etter 3 sekunder.
[tex] Akselerasjonsvektor =\vec{r^{\tiny\prime\tiny\prime}\left( t \right)} = \left[ {8,2e^t } \right] [/tex]
[tex] a\left( t \right) = \left| {\vec {r^{\tiny\prime\tiny\prime}\left( t \right)} } \right| = \sqrt {8^2 + \left( {2e^t } \right)^2 } = \sqrt {64 + 4e^{2t} } = 2\sqrt {16 + \left( {e^t } \right)^2 } [/tex]
[tex] a\left( 3 \right) = 2\sqrt {16 + \left( {e^3 } \right)^2 } = 2\sqrt {16 + e^6 } \approx 40.95992156 \text{m/s}^2 [/tex]
d Avgjør om fartvektoren er parallell med aksene for noen verdier av t.
[tex]r\left( t \right)||\left( {x,0} \right) \Leftrightarrow \left[ {8t - 5,2e^t } \right] = \left( {x,0} \right){\rm{ }}siden{\rm{ }}2e^t \ne 0{\rm{ }}er{\rm{ }}v\left( t \right)aldri{\rm{ }}paralell{\rm{ }}med{\rm{ }}x{\rm{ }}aksen [/tex]
[tex] r\left( t \right)||\left( {0,y} \right) \Leftrightarrow \left[ {8t - 5,2e^t } \right]x = \left( {0,y} \right){\rm{ }}siden{\rm{ }}8t - 5 = 0{\rm{ }}n{\aa}r{\rm{ }}t = \frac{5}{8}{\rm{ }}s{\aa}{\rm{ }}er{\rm{ }}v\left( t \right){\rm{ }}paralell{\rm{ }}med{\rm{ }}y{\rm{ }}aksen{\rm{ }}da [/tex]
e) Bestem hvor kurven skjærer aksene.
[tex] \vec {r\left( t \right)} = 0 \Leftrightarrow \left[ {4t^2 - 5t,2e^t } \right]{\rm{ = 0 }}{\rm{, }}4t^2 - 5t = 0 \Rightarrow t = 0 \vee t = \frac{5}{4}{\rm{ og 2e}}^0 = 2{\rm{ }}{\rm{, 2e}}^{5/4} [/tex]
[tex]\vec{r\left( t \right)} {\rm{ }}skj\ae rer{\rm{ }}y{\rm{ }}aksen{\rm{ }}n{\aa}r{\rm{ }}t = 0{\rm{ }}i{\rm{ }}punktet\left( {0,2} \right){\rm{ }}og{\rm{ }}n{\aa}r{\rm{ }}t = \frac{4}{5}{\rm{ }}i{\rm{ }}punktet{\rm{ }}\left( {0,2e^{4/5} } \right) \approx \left( {0,6.9806} \right) [/tex]
[tex]\vec{r\left( t \right)} {\rm{ }}skj\ae rer{\rm{ }}aldri{\rm{ }}x{\rm{ }}aksen{\rm{ }}siden{\rm{ }}2e^t {\rm{ }}aldri{\rm{ }}blir{\rm{ }}0{\rm{ }} [/tex]
f) Skisser kurven for [tex]t\in [0\,,\,2][/tex]
![Bilde](http://img404.imageshack.us/img404/9868/oppgave5.png)
Oppgave 6
Et legefirma prøver ut en ny blodprøvetype for fugleinfluensa. Prøven vil oppdage fugleinfluense i [tex]90\percent[/tex] avv tilfellene, men i tillegg så vil den gi en såkalt falsk positiv prøve i [tex]5\percent[/tex] av tilfellene der folk ikke har fugleinfluensa. Vi antar at [tex]4\percent[/tex] av befolkningen under et utbrudd kan ha fugleinfluensa, og vi har dermed disse hendelsene:
F: "Personen har fugleinfluensa"
T: "Personen tester positivt for fugleinfluensa
Vi har dermed [tex]P(F)\,=\,0,04\;,\;P(T|F)\,=\,90[/tex] og [tex]P(T|\overline{F})[/tex]
a) Finn [tex]P(F \, \cap \, T)\;,\;P(T)[/tex] og [tex]P(\overline{F} \, \cup \, T) [/tex]
[tex] P\left( {F \cap T} \right) = P\left( F \right)P\left( {T|F} \right) = 0.04 \cdot 0.90 = 0.036 [/tex]
[tex] P\left( T \right) = P\left( F \right)P\left( {T|F} \right) + P\left( {\overline F } \right)P\left( {T|\overline F } \right) = 0.04 \cdot 0.90 + 0.96 \cdot 0.05 = 0.036 + 0.048 = 0.084 [/tex]
[tex] P\left( {\overline F \cup T} \right) = P\left( {\overline F } \right) + P\left( T \right) - \left( {\overline F \cap T} \right) = 0.96 + 0.084 - 0.048 = 0.996 [/tex]
![Bilde](http://img265.imageshack.us/img265/9452/oppgave6.png)
b) En person tester positivt for fugleinfluensa. Hva er sannsynligheten for at personen faktisk har fugleinfluensa?
[tex]P\left( {F|T} \right) = \frac{{P\left( F \right)P\left( {T|F} \right)}}{{P\left( T \right)}} = \frac{{0.036}}{{0.084}} = \frac{{36}}{{84}} = \frac{3}{7} \approx {\rm{0}}{\rm{,42857 = 42}}{\rm{.857\percent }} [/tex]
Dersom en person har fugleinfluensa, så vil personen bli bedre av seg i [tex]80\percent[/tex] av tilfellene.
Vi ser på en klasse med [tex]23[/tex] elever og antar at alle sammen har fått fugleinfluensa.
c) Hvor stor sannsynlighet er det for at minst [tex]5[/tex] elever kommer til å trenger legebehandling i denne klassen?
[tex] \sum\limits_{n = 5}^{23} { {23}\choose{n}} \left( {0.20} \right)^n \left( {1 - 0.80} \right)^{23 - n} [/tex] [tex]\Leftrightarrow \sum\limits_{n = 5}^{23} { {{ {23}\choose{n}}} \left( {\frac{1}{5}} \right)^n \left( {\frac{4}{5}} \right)^{23 - n}[/tex] [tex]=[/tex] [tex] \frac{{{\rm{1190391041157833}}}}{{{\rm{2384185791015625}}}} \approx {\rm{0}}{\rm{.49929}} \approx {\rm{50\percent }}[/tex]
d) Hva er det mest sannsynlige antallet elever som trenger legehjelp i denne klassen ?
[tex] {\rm{P}}\left( x \right) = {{23}\choose {n}}\left( {\frac{1}{5}} \right)^n \left( {\frac{4}{5}} \right)^{23 - n} \;{\rm{\,\,\,\,og P}}\left( 0 \right) = {\rm{0}}{\rm{.0059}} \, , \, {\rm{P}}\left( 1 \right) = {\rm{0}}{\rm{.033}}{\rm{ \, , \, P}}\left( 2 \right) = {\rm{0}}{\rm{.093}}{\rm{ \, , \, P}}\left( 3 \right) = {\rm{0}}{\rm{.163}}{\rm{ \, , \, P}}\left( 4 \right) = {\rm{0}}{\rm{.204}}{\rm{ \, , \, P}}\left( 5 \right) = {\rm{0}}{\rm{.193}}[/tex]
[tex] Alts{\aa}{\rm{ }}er{\rm{ }}P\left( x \right){\rm{ }}st{\o}rst{\rm{ }}n{\aa}r{\rm{ }}x = 4{\rm{ }}eller{\rm{ }}n{\o}yaktig{\rm{ }}n{\aa}r{\rm{ }}x = 4.293525459{\rm{ }}P\left( {4.293525459} \right) = 0.2065178183 [/tex]
[tex] Men{\text{ vi kan ikke ha halve elever}},{\text{kanskje \det \, er halvbr{\o}dre}}... [/tex]
Oppgave 1
a) Deriver funksjonene
[tex]\qquad[/tex]1) [tex]\,f(x)\,=\,x\cdot \ln(4x)[/tex]
[tex]\qquad \qquad[/tex] [tex]f^{\tiny\prime}(x)\,=\,1\cdot \ln(4x)+x\cdot\frac{1}{4x}\cdot4[/tex]
[tex]\qquad \qquad[/tex] [tex]f^{\tiny\prime}(x)\,=\ln(4x)+1[/tex]
[tex]\qquad[/tex]2) [tex]g(x)\,=\,6(5-x)^3[/tex]
[tex]\qquad \qquad [/tex] [tex]g^{\tiny\prime}(x)\,=(6)(3)(5-x)^2(-1)[/tex]
[tex]\qquad \qquad [/tex] [tex]g^{\tiny\prime}(x)\,=-18(5-x)^2[/tex]
b) Finn grenseverdien dersom den eksisterer
[tex]\lim_{x\to7}\,\frac{x^2-49}{2x-14} \; \Leftrightarrow \, \lim_{x\to7}\,\frac{2x}{x}\; \Leftrightarrow \, \lim_{x\to7} x \; \Leftrightarrow \, 7[/tex]
Bruker L`hôpital pga grenseverdien er på [tex]\frac{0}{0}[/tex] form
[tex]\lim_{x\to7}\,\frac{x^2-49}{2x-14}\; \Leftrightarrow \, \lim_{x\to7}\,\frac{x^2-7^2}{2x-2\cdot7} \; \Leftrightarrow \, \lim_{x\to7}\,\frac{(x-7)(x+7)}{2(x-7)} \; \Leftrightarrow \, \lim_{x\to7}\,\frac{x+7}{2}\; \Leftrightarrow \, \frac{7+7}{2}\; \Leftrightarrow \,7[/tex]
c) Skriv så enkelt som mulig:
[tex] \qquad \ln\left(\frac{9}{x^3}\right)+\ln\left(\frac{x}{3}\right)+\ln(x^2)\,= \, \ln \left( \frac{9}{x^3} \cdot \frac{x}{3} \cdot x^2\right)\, = \, \ln(3)[/tex]
d) La f være polynomfunksjonen gitt ved [tex]f(x)\,=\,x^3-3x^2-10x+24[/tex]
1) Regn ut [tex]f(2)[/tex] og faktoriser [tex]f(x)[/tex] i linære faktorer
[tex]f(x)\,=\,x^3-3x^2-10x+24[/tex]
[tex]f(2)\,=\,\left(2^3\right)-3\left(2^2\right)-10\left(2\right)+24[/tex]
[tex]f(2)\,=\,8-12-20+24[/tex]
[tex]f(2)\,=\,0[/tex]
[tex]x^3-3x^2-10x+24 \, : \, x-2 \; = \; x^2-x-12[/tex]
[tex]\underline{x^3-2x^2 \qquad \qquad \qquad \qquad} [/tex]
[tex]\,\,\,\;\, - \; x^2+2x[/tex]
[tex]\underline{\,\,\,\;\, - \; x^2 -12x \qquad \qquad \qquad \qquad}[/tex]
[tex]\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \, -12x+24[/tex]
[tex]\underline{\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \, -12x+24 \qquad \qquad}[/tex]
[tex]\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \, \theta[/tex]
[tex]f(x)\,=\,x^3-3x^2-10x+24[/tex]
[tex]f(x)\,=\,(x-2)(x^2-x-12)[/tex]
[tex]f(x)\,=\,(x-2)(x-4)(x+3) \qquad \qquad[/tex] pga [tex](-4)(3)=-12\,[/tex] og [tex]\,(-4)+(3)=-1[/tex]
2) Løs ulikheten [tex]f(x)<0[/tex]
______-4______-3______-2______-1______0______1______2______3______4______5
x+3 -----------------0________________________________________________________
x-2 ----------------------------------------------------------------------------0____________________
x-4----------------------------------------------------------------------------------------------------0_____
f(x)-------------------0___________________________________0----------------------0______
[tex]f(x)<0[/tex] når [tex]x<-3[/tex] eller [tex]2<x<4[/tex]
e) figuren viser grafen til en funksjon [tex]f[/tex] med to asymptoter. Bruk figuren til å tegne fortegnslinje for [tex]f(x)[/tex], den førstederiverte og den andrederiverte. Bestem verdimengden til funksjonen
Ganske nytteløs uten graf, skal tegne graf snart...
Oppgave 2
Slå en sirkel på innføringsarket. anta at vi ikke kjenner beliggenheten av sentrum til sirkelen. Vis ved konstruksjon hvordan vi kan finne sentrum.
Merk av et punkt [tex]T[/tex] utenfor sirkelen. Konstruer tangentene fra [tex]T [/tex]til sirkelen.
![Bilde](http://img532.imageshack.us/img532/2595/sentrum.gif)
http://www.2shared.com/file/2sCkEqMh/Sentrum.html
1. Plasser et vilkårlig punkt P utenfor sirkelen
2. sett passerspissen i punktet og slå en bue som skjærer sirkelen
3. Marker skjæringspunktene, og finn midtpunktet mellom dem
4. Trekk ei linje gjennom punkt P og midtpunktet (Dette er diameteren)
5. Sett av skjæringspunktet mellom sirkelen og linja
6. Konstruer midtnormalen mellom skjæringspunktene, dette er sentrum
![Bilde](http://img232.imageshack.us/img232/8372/b6b1c6461e.gif)
1. Plasser tre vilkårlige punkt på sirkelen.
2. Tegn en trekant med hjørner i disse punktene
3. Finn midtnormalen til to av sidene i trekanten
4. Skjæringspunktet mellom disse linjene er sentrum
To alternative måter
http://www.youtube.com/watch?v=YOJbWo41gU0
http://www.youtube.com/watch?v=7kMFjXtAWAY
![Bilde](http://img717.imageshack.us/img717/8646/animd61a36f0ddbf3bd4dd9.gif)
Vi antar at vi kjenner sentrum i sirkelen
1. Vi plasserer et vilkårlig punkt T utenfor sirkelen
2. Vi finner midtpunktet mellom sentrum av sirkelen og T
3. Vi konstruerer en sirkel med sentrum i midtpunktet or radius til T
4. Skjæringspunktet mellom disse to sirklene er Tangeringspunktet til T
Oppgave 3
a) forklar hvorfor vektorene [tex][a,b][/tex] og [tex][-b,a][/tex] står vinkelrett på hverandre
To vinkler er ortogonale, dersom kryssproduktet er null
[tex]\vec{a}\bot\vec{b}\,\Leftrightarrow\,\vec{a}\cdot\vec{b}=0[/tex]
[tex]\vec{a}\cdot\vec{b}=0\,\Leftrightarrow\, [a,b][-b,a] = 0 \,\Leftrightarrow\, (a)(-b)+(a)(b)=0\,\Leftrightarrow\, -ab+ab=0\,\Leftrightarrow\, 0=0[/tex]
b) Trekanten [tex]PQR[/tex] har hjørnene [tex]P(1,2) \; , \; Q(9,3) \; , \; R(9,-4)[/tex]
Bestem vektorene [tex]\; \vec{PR} \; , \; \vec{QR}[/tex] og [tex]|\vec{PR}|[/tex]
[tex] \vec {PR} = \vec {OR} - \vec {OP} = [9, - 4] - [1,2] = [8, - 6] [/tex]
[tex] \vec {QR} = \vec {OR} - \vec {OQ} = [9, - 4] - [9,3] = [0, - 7] [/tex]
[tex] \left| {\vec {PR} } \right| = \sqrt {\,\vec {PR} ^2 \;} = \sqrt {\left( 8 \right)^2 + \left( { - 6} \right)^2 } = \sqrt {64 + 36} = \sqrt {100} = 10 [/tex]
c) Undersøk ved regning om [tex]\vec{PR}[/tex] står vinkelrett på [tex]\vec{QR}[/tex]
[tex]\vec {QR} \bot \vec {PR} \Leftrightarrow \vec {QR} \cdot \vec {PR} = 0 \Leftrightarrow [8, - 6] \cdot [0, - 7] \Leftrightarrow (8)(0) + \left( { - 6} \right)\left( { - 7} \right) \Leftrightarrow 42 [/tex] Nei, [tex]\vec {QR}[/tex] står ikke vinkelrett på [tex]\vec {PR}[/tex]
d) Finn en parameterframstilling for linja [tex]l[/tex] gjennom [tex]P[/tex] og [tex]Q[/tex]
[tex] \vec{PQ} = \vec {OQ} - \vec {OP} = [9,3] - [1,2] =[8,1] [/tex]
[tex]l:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 8t \\ y = 2 + 1t \\ \end{array} \right.[/tex]
e) Finn et punkt [tex]N[/tex] på [tex]l[/tex] slik at [tex]PQ \, \bot \,RN[/tex]
[tex]\vec {ON} = \vec{OP} + \vec {PQ} \cdot t = \left[ {1,2} \right] + \left[ {8,1} \right]t = \left[ {8t + 1,t + 2} \right] [/tex]
[tex] RN = \vec {ON} - \vec {OR} = \left[ {8t + 1,t + 2} \right] - \left[ {9, - 4} \right] = \left[ {8t - 8,t + 6} \right] [/tex]
[tex] \vec{PQ} \bot \vec {RN} \Leftrightarrow \vec {PQ} \cdot \vec {RN} = 0 \Leftrightarrow \left[ {8,1} \right]\left[ {8t - 8,t + 6} \right] = 0 \Leftrightarrow 64t - 64 + t + 6 = 0 \Leftrightarrow t = \frac{{58}}{{65}}[/tex]
[tex] \vec {ON} = \left[ {8t + 1,t + 2} \right] = \left[ {8\frac{{58}}{{65}} + 1,\frac{{58}}{{65}} + 2} \right] = \left[ {\frac{{529}}{{65}},\frac{{188}}{{65}}} \right] \Rightarrow N\left( {\frac{{529}}{{65}},\frac{{188}}{{65}}} \right) [/tex]
f) Finn likninga for linja [tex]m[/tex] gjennom [tex]R[/tex] og [tex]N[/tex]
[tex] N\left( {\frac{{529}}{{65}},\frac{{188}}{{65}}} \right) [/tex]
[tex] RN = \left[ {8t - 8,t + 6} \right] = \left[ {8\left( {\frac{{58}}{{65}}} \right) - 8,\frac{{58}}{{65}} + 6} \right] = \left[ { - \frac{{56}}{{65}},{\rm{ }}\frac{{448}}{{65}}} \right] [/tex]
[tex]m:\left\{ \begin{array}{l}x = 9 - \frac{{56}}{{65}}t \\ y = - 4 + \frac{{448}}{{65}}t \\ \end{array} \right\}{\rm{ og }}x = 9 - \frac{{56}}{{65}}t \Rightarrow t = - \frac{{65}}{{56}}x + \frac{{585}}{{56}}[/tex]
[tex] y = - 4 + \frac{{448}}{{65}}t \Rightarrow y = - 4 + \left( {\frac{{448}}{{65}}} \right)\left( { - \frac{{65}}{{56}}x + \frac{{585}}{{56}}} \right) \Rightarrow y = - 4 - \frac{{448}}{{56}}x + 72 \Rightarrow y = - 8x + 68 [/tex]
Del 2 (Tre timer)
Oppgave 4
Funksjonen [tex]f(x)[/tex] er gitt ved [tex]f(x)=x^4+2x^3-5x^2[/tex]
a) Finn nullpunktene til funksjonen og skjæringspunktet med y aksen
[tex] f(x) = x^4 + 2x^3 - 5x^2 [/tex]
[tex] f(x) = x^2 \left( {x^2 + 2x - 5} \right) [/tex]
[tex] x = \frac{{ - b \pm \sqrt {b^2 - 4ac} }}{{2a}} = \frac{{ - \left( 2 \right) \pm \sqrt {\left( 2 \right)^2 - 4\left( 1 \right)\left( { - 5} \right)} }}{{2\left( 1 \right)}} = \frac{{ - 2 \pm \sqrt {24} }}{2} = \frac{{ - 2 \pm 2\sqrt 6 }}{2} = - 1 \pm \sqrt 6 [/tex]
[tex] Nullpunktene{\rm{ }}til{\rm{ }}f(x){\rm{ }}er{\rm{ }}x = 0{\rm{ }} \vee {\rm{ }} - 1 \pm \sqrt 6 [/tex]
b) Finn [tex]f^{\tiny\prime}(x)[/tex] , tegn et fortegnsskjema for den deriverte og finn topp. og bunnpunktene til funksjonen
[tex] f\left( x \right) = x^4 + 2x^3 - 5x^2 [/tex]
[tex] f^{\tiny\prime}\left( x \right) = 4x^3 + 6x^2 - 10x [/tex]
[tex] f^{\tiny\prime}\left( x \right) = \left( {2x} \right)\left( {2x^2 + 3x - 5} \right) [/tex]
[tex] x = \frac{{ - b \pm \sqrt {b^2 - 4ac} }}{{2a}} = \frac{{ - \left( 3 \right) \pm \sqrt {\left( 3 \right)^2 - \left( 4 \right)\left( 2 \right)\left( { - 5} \right)} }}{{2\left( 2 \right)}} = \frac{{ - 3 \pm \sqrt {49} }}{4} = \frac{{ - 3 \pm 7}}{4} = 1 \vee - \frac{5}{2} [/tex]
[tex]f\left( 1 \right) = \left( 1 \right)^4 + 2\left( 1 \right)^3 - 5\left( 1 \right)^2 = - 2 [/tex]
[tex] f\left( 0 \right) = \left( 0 \right)^4 + 2\left( 0 \right)^3 - 5\left( 0 \right)^2 = 0 [/tex]
[tex] f\left( { - \frac{5}{2}} \right) = \left( { - \frac{5}{2}} \right)^4 + 2\left( { - \frac{5}{2}} \right)^3 - 5\left( { - \frac{5}{2}} \right)^2 = \left( { \frac{{625}}{{16}}} \right) + \left( { - \frac{{125}}{4}} \right) - \left( { \frac{{125}}{4}} \right) = - \frac{{375}}{{16}}[/tex]
_________-3______-5/2______-2______-1______0______1______2______
[tex]2x+5[/tex]-------------------0___________________________________________
[tex]x[/tex]---------------------------------------------------------------0____________________
[tex]x-1[/tex]-----------------------------------------------------------------------0_____________
[tex]f(x)[/tex]-----------------------0______________________0----------0_____________
[tex]f(x)[/tex] har bunnpunktene [tex]\left( -\frac{5}{2} \, , \, - \frac{{625}}{{16}} \right)[/tex] og [tex]\left( 1 \, , \, -2 \right)[/tex]
[tex]f(x)[/tex] har toppunktet [tex]\left( 0 \, , \, 0 \right)[/tex]
c) Finn [tex]f^{\tiny\prime\tiny\prime}(x)[/tex] og bestem hvordan grafen krummer.
[tex] f^{\tiny\prime}\left( x \right) = 4x^3 + 6x^2 - 10x [/tex]
[tex] f^{\tiny\prime\tiny\prime}\left( x \right) = 12x^2 + 12x - 10 = 2\left( {6x^2 + 6x - 5} \right)[/tex]
[tex] x = \frac{{ - b \pm \sqrt {b^2 - 4ac} }}{{2a}} = \frac{{ - \left( 6 \right) \pm \sqrt {\left( 6 \right)^2 - 4\left( 6 \right)\left( { - 15} \right)} }}{{2\left( 6 \right)}} = \frac{{ - 6 \pm \sqrt {156} }}{{12}} = \frac{{ - 3 \pm \sqrt {39} }}{6} [/tex]
[tex] f\left( x \right){\rm{ }}er{\rm{ }}konveks{\rm{ }}n{\aa}r{\rm{ }}x < \frac{{ - 3 - \sqrt {39} }}{6}{\rm{ }}eller{\rm{ }}x > \frac{{ - 3 + \sqrt {39} }}{6} [/tex]
[tex] f\left( x \right){\rm{ }}er{\rm{ }}konkav{\rm{ }}n{\aa}r{\rm{ }}\frac{{ - 3 - \sqrt {39} }}{6} < x < \frac{{ - 3 + \sqrt {39} }}{6} [/tex]
d) Bestem vendetetangentene til [tex]f[/tex].
[tex] f\left( x \right) = x^4 + 2x^3 - 5x^2{\rm{ og }}f\left( {\frac{{ - 3 - \sqrt {39} }}{6}} \right) = - \frac{{11}}{{36}} - \frac{2}{9}\sqrt {39} {\rm{ og }}f\left( {\frac{{ - 3 + \sqrt {39} }}{6}} \right) = - \frac{{11}}{{36}} + \frac{2}{9}\sqrt {39} {\rm{ }} [/tex]
[tex] f^{\tiny\prime}\left( x \right) = 4x^3 + 6x^2 - 10x{\rm{ og }}f^{\tiny\prime}\left( {\frac{{ - 3 - \sqrt {39} }}{6}} \right) = 10 - \frac{5}{9}\sqrt {39} {\rm{ og }}f^{\tiny\prime}\left( {\frac{{ - 3 + \sqrt {39} }}{6}} \right) = 10 + \frac{5}{9}\sqrt {39} [/tex]
[tex] y = a\left( {x - x_1 } \right) + y_1 [/tex]
[tex] y_a = \left( {10 - \frac{5}{9}\sqrt {39} } \right)\left( {x - \frac{{ - 3 - \sqrt {39} }}{6}} \right) + \left( { - \frac{{11}}{{36}} - \frac{2}{9}\sqrt {39} } \right){\rm{ og }}y_b = \left( {10 + \frac{5}{9}\sqrt {39} } \right)\left( {x - \frac{{ - 3 + \sqrt {39} }}{6}} \right) + \left( { - \frac{{11}}{{36}} + \frac{2}{9}\sqrt {39} } \right) [/tex]
[tex] y_a = 10\,x - \frac{{107}}{{12}} + \frac{{31}}{{18}}\,\sqrt {39} - \frac{5}{9}\,\sqrt {39} x{\rm{ og }}y_b = 10\,x - \frac{{107}}{{12}} - \frac{{31}}{{18}}\,\sqrt {39} + \frac{5}{9}\,\sqrt {39} x [/tex]
[tex] {\rm{Vendetangenten i punktet }}\frac{{ - 3 - \sqrt {39} }}{6}{\rm{ er y = }}10\,x - \frac{{107}}{{12}} + \frac{{31}}{{18}}\,\sqrt {39} - \frac{5}{9}\,\sqrt {39} x [/tex]
[tex] {\rm{Vendetangenten i punktet }}\frac{{ - 3 + \sqrt {39} }}{6}{\rm{ er }}\,y=10\,x - \frac{{107}}{{12}} - \frac{{31}}{{18}}\,\sqrt {39} + \frac{5}{9}\,\sqrt {39} x [/tex]
f) Vi har likningen [tex]f(x)\,=\,k[/tex]. Bestem for hvilke [tex]k[/tex]-verdier som gir [tex]0\,,\,1\,,\,2\,,\,3[/tex] og [tex]4[/tex] løsninger.
[tex] Ingen{\rm{ }}l{\o}sning{\rm{ }}n{\aa}r{\rm{ }}k < - \frac{{625}}{{16}} [/tex]
[tex] En{\rm{ }}l{\o}sning{\rm{ }}n{\aa}r{\rm{ }}k = \frac{{625}}{{16}} [/tex]
[tex] To{\rm{ }}l{\o}sninger{\rm{ }}n{\aa}r{\rm{ }} - \frac{{625}}{{16}} > k > - 2{\rm{ }} \vee {\rm{ }}k > 0 [/tex]
[tex] Tre{\rm{ }}l{\o}sninger{\rm{ }}n{\aa}r{\rm{ }}k = 0{\rm{ }} \vee {\rm{ }}k = - 2 [/tex]
[tex] Fire{\rm{ }}l{\o}sninger{\rm{ }}n{\aa}r{\rm{ }}0 > k > - 2[/tex]
Oransje linjer, er for å illustrere antall løsninger for forskjellige verdier av k
Blå linjer, er vendetangenter, svarte er nullpunkter og grønne er ekstremalpunkter.
![Bilde](http://img687.imageshack.us/img687/9550/oppgave4.png)
Oppgave 5
En partikkel følger banen til vektorfunksjonen gitt ved [tex]\vec{\,r(t)\,}\,=\,[4t^2-5t\,,\,2e^t][/tex]
der [tex]t[/tex] er tiden målt i sekunder
a) Bestem hvor partikkelen er etter [tex]2[/tex] sekunder.
[tex]\vec{r\left( t \right)} = \left[ {4t^2 - 5t,2e^t } \right][/tex]
[tex] \vec {r\left( 2 \right)} = \left[ {4 \cdot 2^2 - 5 \cdot 2,2e^2 } \right] = \left[ {6,2e^2 } \right] \approx \left[ {6,{\rm{14}}{\rm{.778}}} \right] [/tex]
b) Bestem farten etter [tex]2[/tex] sekunder.
[tex]b)v\left( t \right) = \left| {r^{\tiny\prime}\left( t \right)} \right| = \sqrt {\left( {8t - 5} \right)^2 + \left( {2e^t } \right)^2 } = \sqrt {64t^2 - 80t + 25 + 4e^{2t} } [/tex]
[tex] v\left( 2 \right) = \sqrt {64 \cdot 2^2 - 80 \cdot 2 + 25 + 4e^{2t} } = \sqrt {121 + 4e^4 } \approx {\rm{18}}{\rm{.42261111}}m/s [/tex]
c) Finn akselerasjonsvektoren og bestem akselerasjonen etter 3 sekunder.
[tex] Akselerasjonsvektor =\vec{r^{\tiny\prime\tiny\prime}\left( t \right)} = \left[ {8,2e^t } \right] [/tex]
[tex] a\left( t \right) = \left| {\vec {r^{\tiny\prime\tiny\prime}\left( t \right)} } \right| = \sqrt {8^2 + \left( {2e^t } \right)^2 } = \sqrt {64 + 4e^{2t} } = 2\sqrt {16 + \left( {e^t } \right)^2 } [/tex]
[tex] a\left( 3 \right) = 2\sqrt {16 + \left( {e^3 } \right)^2 } = 2\sqrt {16 + e^6 } \approx 40.95992156 \text{m/s}^2 [/tex]
d Avgjør om fartvektoren er parallell med aksene for noen verdier av t.
[tex]r\left( t \right)||\left( {x,0} \right) \Leftrightarrow \left[ {8t - 5,2e^t } \right] = \left( {x,0} \right){\rm{ }}siden{\rm{ }}2e^t \ne 0{\rm{ }}er{\rm{ }}v\left( t \right)aldri{\rm{ }}paralell{\rm{ }}med{\rm{ }}x{\rm{ }}aksen [/tex]
[tex] r\left( t \right)||\left( {0,y} \right) \Leftrightarrow \left[ {8t - 5,2e^t } \right]x = \left( {0,y} \right){\rm{ }}siden{\rm{ }}8t - 5 = 0{\rm{ }}n{\aa}r{\rm{ }}t = \frac{5}{8}{\rm{ }}s{\aa}{\rm{ }}er{\rm{ }}v\left( t \right){\rm{ }}paralell{\rm{ }}med{\rm{ }}y{\rm{ }}aksen{\rm{ }}da [/tex]
e) Bestem hvor kurven skjærer aksene.
[tex] \vec {r\left( t \right)} = 0 \Leftrightarrow \left[ {4t^2 - 5t,2e^t } \right]{\rm{ = 0 }}{\rm{, }}4t^2 - 5t = 0 \Rightarrow t = 0 \vee t = \frac{5}{4}{\rm{ og 2e}}^0 = 2{\rm{ }}{\rm{, 2e}}^{5/4} [/tex]
[tex]\vec{r\left( t \right)} {\rm{ }}skj\ae rer{\rm{ }}y{\rm{ }}aksen{\rm{ }}n{\aa}r{\rm{ }}t = 0{\rm{ }}i{\rm{ }}punktet\left( {0,2} \right){\rm{ }}og{\rm{ }}n{\aa}r{\rm{ }}t = \frac{4}{5}{\rm{ }}i{\rm{ }}punktet{\rm{ }}\left( {0,2e^{4/5} } \right) \approx \left( {0,6.9806} \right) [/tex]
[tex]\vec{r\left( t \right)} {\rm{ }}skj\ae rer{\rm{ }}aldri{\rm{ }}x{\rm{ }}aksen{\rm{ }}siden{\rm{ }}2e^t {\rm{ }}aldri{\rm{ }}blir{\rm{ }}0{\rm{ }} [/tex]
f) Skisser kurven for [tex]t\in [0\,,\,2][/tex]
![Bilde](http://img404.imageshack.us/img404/9868/oppgave5.png)
Oppgave 6
Et legefirma prøver ut en ny blodprøvetype for fugleinfluensa. Prøven vil oppdage fugleinfluense i [tex]90\percent[/tex] avv tilfellene, men i tillegg så vil den gi en såkalt falsk positiv prøve i [tex]5\percent[/tex] av tilfellene der folk ikke har fugleinfluensa. Vi antar at [tex]4\percent[/tex] av befolkningen under et utbrudd kan ha fugleinfluensa, og vi har dermed disse hendelsene:
F: "Personen har fugleinfluensa"
T: "Personen tester positivt for fugleinfluensa
Vi har dermed [tex]P(F)\,=\,0,04\;,\;P(T|F)\,=\,90[/tex] og [tex]P(T|\overline{F})[/tex]
a) Finn [tex]P(F \, \cap \, T)\;,\;P(T)[/tex] og [tex]P(\overline{F} \, \cup \, T) [/tex]
[tex] P\left( {F \cap T} \right) = P\left( F \right)P\left( {T|F} \right) = 0.04 \cdot 0.90 = 0.036 [/tex]
[tex] P\left( T \right) = P\left( F \right)P\left( {T|F} \right) + P\left( {\overline F } \right)P\left( {T|\overline F } \right) = 0.04 \cdot 0.90 + 0.96 \cdot 0.05 = 0.036 + 0.048 = 0.084 [/tex]
[tex] P\left( {\overline F \cup T} \right) = P\left( {\overline F } \right) + P\left( T \right) - \left( {\overline F \cap T} \right) = 0.96 + 0.084 - 0.048 = 0.996 [/tex]
![Bilde](http://img265.imageshack.us/img265/9452/oppgave6.png)
b) En person tester positivt for fugleinfluensa. Hva er sannsynligheten for at personen faktisk har fugleinfluensa?
[tex]P\left( {F|T} \right) = \frac{{P\left( F \right)P\left( {T|F} \right)}}{{P\left( T \right)}} = \frac{{0.036}}{{0.084}} = \frac{{36}}{{84}} = \frac{3}{7} \approx {\rm{0}}{\rm{,42857 = 42}}{\rm{.857\percent }} [/tex]
Dersom en person har fugleinfluensa, så vil personen bli bedre av seg i [tex]80\percent[/tex] av tilfellene.
Vi ser på en klasse med [tex]23[/tex] elever og antar at alle sammen har fått fugleinfluensa.
c) Hvor stor sannsynlighet er det for at minst [tex]5[/tex] elever kommer til å trenger legebehandling i denne klassen?
[tex] \sum\limits_{n = 5}^{23} { {23}\choose{n}} \left( {0.20} \right)^n \left( {1 - 0.80} \right)^{23 - n} [/tex] [tex]\Leftrightarrow \sum\limits_{n = 5}^{23} { {{ {23}\choose{n}}} \left( {\frac{1}{5}} \right)^n \left( {\frac{4}{5}} \right)^{23 - n}[/tex] [tex]=[/tex] [tex] \frac{{{\rm{1190391041157833}}}}{{{\rm{2384185791015625}}}} \approx {\rm{0}}{\rm{.49929}} \approx {\rm{50\percent }}[/tex]
d) Hva er det mest sannsynlige antallet elever som trenger legehjelp i denne klassen ?
[tex] {\rm{P}}\left( x \right) = {{23}\choose {n}}\left( {\frac{1}{5}} \right)^n \left( {\frac{4}{5}} \right)^{23 - n} \;{\rm{\,\,\,\,og P}}\left( 0 \right) = {\rm{0}}{\rm{.0059}} \, , \, {\rm{P}}\left( 1 \right) = {\rm{0}}{\rm{.033}}{\rm{ \, , \, P}}\left( 2 \right) = {\rm{0}}{\rm{.093}}{\rm{ \, , \, P}}\left( 3 \right) = {\rm{0}}{\rm{.163}}{\rm{ \, , \, P}}\left( 4 \right) = {\rm{0}}{\rm{.204}}{\rm{ \, , \, P}}\left( 5 \right) = {\rm{0}}{\rm{.193}}[/tex]
[tex] Alts{\aa}{\rm{ }}er{\rm{ }}P\left( x \right){\rm{ }}st{\o}rst{\rm{ }}n{\aa}r{\rm{ }}x = 4{\rm{ }}eller{\rm{ }}n{\o}yaktig{\rm{ }}n{\aa}r{\rm{ }}x = 4.293525459{\rm{ }}P\left( {4.293525459} \right) = 0.2065178183 [/tex]
[tex] Men{\text{ vi kan ikke ha halve elever}},{\text{kanskje \det \, er halvbr{\o}dre}}... [/tex]
Sist redigert av Nebuchadnezzar den 16/06-2012 14:14, redigert 19 ganger totalt.
"Å vite hva man ikke vet er og en slags allvitenhet" - Piet Hein
https://s.ntnu.no/Integralkokeboken
Lektor - Matematikk, Fysikk og Informatikk
https://s.ntnu.no/Integralkokeboken
Lektor - Matematikk, Fysikk og Informatikk
-
- Fibonacci
- Innlegg: 5648
- Registrert: 24/05-2009 14:16
- Sted: NTNU
Realist1: fælt så sjapp du var i dag da^^ Holdt på å redigere innlegget mitt
TheOneAndOnly: Zigma R1, for en skitbok...
TheOneAndOnly: Zigma R1, for en skitbok...
"Å vite hva man ikke vet er og en slags allvitenhet" - Piet Hein
https://s.ntnu.no/Integralkokeboken
Lektor - Matematikk, Fysikk og Informatikk
https://s.ntnu.no/Integralkokeboken
Lektor - Matematikk, Fysikk og Informatikk
-
- Fibonacci
- Innlegg: 5648
- Registrert: 24/05-2009 14:16
- Sted: NTNU
Da er tidenes lengste løsningsforslag klart ^^
Prøven gikk ikke så bra, fant ut etter prøven at jeg hadde 3 feil.
Seriøst, hvordan skal lærere forvente at vi skal klare 3f) på del 1 uten noen hjelpemidler og med begrenset tid ? ...
Om noen ser noen feil, i løsningsforslaget bare si ifra. Tror ikke det skal være noe, men er jo lett å overse ting.
Prøven gikk ikke så bra, fant ut etter prøven at jeg hadde 3 feil.
Seriøst, hvordan skal lærere forvente at vi skal klare 3f) på del 1 uten noen hjelpemidler og med begrenset tid ? ...
Om noen ser noen feil, i løsningsforslaget bare si ifra. Tror ikke det skal være noe, men er jo lett å overse ting.
"Å vite hva man ikke vet er og en slags allvitenhet" - Piet Hein
https://s.ntnu.no/Integralkokeboken
Lektor - Matematikk, Fysikk og Informatikk
https://s.ntnu.no/Integralkokeboken
Lektor - Matematikk, Fysikk og Informatikk
http://projecteuler.net/ | fysmat
-
- Fibonacci
- Innlegg: 5648
- Registrert: 24/05-2009 14:16
- Sted: NTNU
Gommle: Vet om det programet, men stilen ville ikke passet helt inn i løsningsforslaget ^^
La til en kort geogebra greie om hvan man finner sentrum i sirkelen. Skulle gjerne likt å ha den på en side, men så flink er jeg ikke.
Fikk igjen prøven: 5+ 0.5 poeng fra sekseren 66/71 poeng.
Litt slurv på del 2, og fikk ingen uttelling på konstruksjonen min som var litt surt.
Figuren var riktig konstruert, men siden jeg ikke forklarte så fikk jeg ingen poeng i det hele tatt... Stod ingenting i oppgaven om at det var nødvendig. Men slik er det, shit happens ^^
La til en kort geogebra greie om hvan man finner sentrum i sirkelen. Skulle gjerne likt å ha den på en side, men så flink er jeg ikke.
Fikk igjen prøven: 5+ 0.5 poeng fra sekseren 66/71 poeng.
Litt slurv på del 2, og fikk ingen uttelling på konstruksjonen min som var litt surt.
Figuren var riktig konstruert, men siden jeg ikke forklarte så fikk jeg ingen poeng i det hele tatt... Stod ingenting i oppgaven om at det var nødvendig. Men slik er det, shit happens ^^
"Å vite hva man ikke vet er og en slags allvitenhet" - Piet Hein
https://s.ntnu.no/Integralkokeboken
Lektor - Matematikk, Fysikk og Informatikk
https://s.ntnu.no/Integralkokeboken
Lektor - Matematikk, Fysikk og Informatikk
-
- Pytagoras
- Innlegg: 14
- Registrert: 24/01-2011 18:52
1 spørsmål,
på b oppgaven når man skal finne bunnpunktet, så er y-koordinatet til ene bp =625/16. altså f(-2,5)=625/16. Men i geogebra er nullpunktet til f(-2,5)=23,44. Kan lese det av figuren han har lagt ved..
Hva skjer?? skjønner ingenting nå!
på b oppgaven når man skal finne bunnpunktet, så er y-koordinatet til ene bp =625/16. altså f(-2,5)=625/16. Men i geogebra er nullpunktet til f(-2,5)=23,44. Kan lese det av figuren han har lagt ved..
Hva skjer?? skjønner ingenting nå!
-
- Fibonacci
- Innlegg: 5648
- Registrert: 24/05-2009 14:16
- Sted: NTNU
Fikset på ting nå, er meget stygg texing så orker ikke fikse så mye. Slike småting burde du klare å se selv =)
Å selvstendig kunne vurdere sine egne svar, er da også et av målene i læreplanen.
Å selvstendig kunne vurdere sine egne svar, er da også et av målene i læreplanen.
"Å vite hva man ikke vet er og en slags allvitenhet" - Piet Hein
https://s.ntnu.no/Integralkokeboken
Lektor - Matematikk, Fysikk og Informatikk
https://s.ntnu.no/Integralkokeboken
Lektor - Matematikk, Fysikk og Informatikk