Konvergens

[kokokoko]

Hva er egentlig konvergens? Hva vil det si at en rekke konvergerer/divergerer?

Jeg har en oppgave:
Avgjør om rekkene konvergerer eller divergerer:
a)
[symbol:sum] [symbol:uendelig] n=0 (n)/(n^5+n^4+3)
b)
[symbol:sum] [symbol:uendelig] n=0 (1)/(n^3-2n+1)

Jeg skjønner ikke hva jeg skal gjøre!

Vi har tre tester; sammenlignings, integral og forholdstesten.

Kan noen hjelpe meg?!

[Nebuchadnezzar]

Konvergerer, det betyr at summen går mot et spesifikt tall.

divergerer betyr at summen ikke går mot et spesifikt tall men [tex]\pm \infty[/tex]

For å finne ut det bruker man forskjellige tester, Står mer i boken din omhvordan man utfører disse testene.

Bruk integral testen på den første .

http://www.wolframalpha.com/input/?i=su ... n^4%2B3%29+

b)

Og bruk integraltesten på den andre.

http://www.wolframalpha.com/input/?i=su ... n^4%2B3%29+

[Yotta]

hvis du har lyst til å slippe integralet kan du sammenligne med den konvergente rekken 1/(n^4)

[Charlatan]

divergerer betyr at summen ikke går mot et spesifikt tall men [tex]\pm \infty[/tex]

Det stemmer ikke helt. En sum, eller følge generelt, kan gjerne divergere selv om den er begrenset.

[Nebuchadnezzar]

Vet at jeg er på tynn is her, men kan du gi et eksempel ?

[Charlatan]

Vel, dersom du ser på følgen [tex]x_n = (-1)^n[/tex], så ser man at denne ikke konvergerer (den alternerer mellom -1 og 1), men samtidig er den begrenset.
For å gi et eksempel på en sum kan vi bruke den imaginære enheten i. Da er [tex]\sum^{\infty}_{k=0} i^k[/tex] en ikke-konvergerende begrenset sum.
Et reellt eksempel er [tex]\sum^{\infty}_{k=0} (-1)^k[/tex]. Denne summen vil alternere mellom 1 og 0.

Det som derimot stemmer er at dersom en følge er begrenset og stigende (eller synkende), så konvergerer dem. Tilsvarende, dersom en sum er begrenset og består utelukkende av positive (eller negative) ledd, så konvergerer den. Det følger fra fundamentalaksiomet i analyse.

Det kan nevnes at alle begrensede summer som ikke konvergerer aldri er absolutt konvergente, dvs at summen av absoluttverdien til leddene ikke er konvergent, men divergent og går mot uendelig.

[Charlatan]

Jeg har en oppgave:
Avgjør om rekkene konvergerer eller divergerer:
a)
[symbol:sum] [symbol:uendelig] n=0 (n)/(n^5+n^4+3)
b)
[symbol:sum] [symbol:uendelig] n=0 (1)/(n^3-2n+1)

Det du alltid bør ha i bakhodet er at [tex]\sum^{\infty}_{n=1} \frac{1}{n}[/tex] divergerer, og [tex]\sum^{\infty}_{n=1} \frac{1}{n^2}[/tex] konvergerer. Når du ser du har polynomer av grad 3,4 eller 5 bør det gi deg et hint om at den synker fortere enn [tex]\sum^{\infty}_{n=1} \frac{1}{n^2}[/tex], så prøv å sammenligne med denne summen i dette tilfellet.