Hjelp til å forstå Banach-Schröder-Bernstein

[FredrikM]

Jeg driver og fullfører et prosjekt om Banach-Tarski-paradokset, og i den sammenheng sliter jeg med å forstå følgende ressonement (hele beviset kan leses her: http://www.math.hmc.edu/~su/papers.dir/banachtarski.pdf på side 16, dog i en litt annen formulering)

La [tex]f:A \to B_1 (\subset B)[/tex] og [tex]g:B \to A_1 (\subset A)[/tex] være bijeksjoner. La [tex]C_0=A\backslash A_1[/tex]. Og la [tex]C_{n+1}=gf(C_n)[/tex] og la [tex]C=\cup_{n=0}^\infty C_n[/tex]. Da er det "enkelt å sjekke" at [tex]g(A \backslash C)=B \backslash f(C)[/tex].

Om noen kunne forklare hvordan ressonneringen er gjort i sitatet ovenfor, blir jeg svært glad.

[Charlatan]

Jeg driver og fullfører et prosjekt om Banach-Tarski-paradokset, og i den sammenheng sliter jeg med å forstå følgende ressonement (hele beviset kan leses her: http://www.math.hmc.edu/~su/papers.dir/banachtarski.pdf på side 16, dog i en litt annen formulering)

La [tex]f:A \to B_1 (\subset B)[/tex] og [tex]g:B \to A_1 (\subset A)[/tex] være bijeksjoner. La [tex]C_0=A\backslash A_1[/tex]. Og la [tex]C_{n+1}=gf(C_n)[/tex] og la [tex]C=\cup_{n=0}^\infty C_n[/tex]. Da er det "enkelt å sjekke" at [tex]g(A \backslash C)=B \backslash f(C)[/tex].

Om noen kunne forklare hvordan ressonneringen er gjort i sitatet ovenfor, blir jeg svært glad.

Jeg ser det står [tex]A \backslash C=g(B \backslash f(C))[/tex] i dokumentet, så antar det er det du mener.

Hvis [tex]x \in B \backslash f(C)[/tex], da kan ikke [tex]g(x) \in C_{n}[/tex] for en n > 0, for det hadde krevd at [tex]x \in f(C_{n-1})[/tex] siden g er en bijeksjon. Altså er [tex]g(B \backslash f(C)) \subseteq A \backslash C[/tex]. Men dersom [tex]x \in A \backslash C = A_1 \backslash C[/tex], så finnes [tex]y \in B[/tex] slik at [tex]g(y) = x[/tex]. Om [tex]y \in f(C)[/tex], så hadde [tex]g(y) = x \in C[/tex] som er umulig, så [tex]y \in B \backslash f(C)[/tex] og [tex]A \backslash C \subseteq g(B \backslash f(C))[/tex]. Med andre ord er [tex]A \backslash C = g(B \backslash f(C))[/tex].

[FredrikM]

Tusen takk for svar. Må innrømme jeg ikke skjønner hvorfor man skulle se dette "lett". (men håper man blir flinkere i slikt etterhvert)

Hvorfor er [tex]A \backslash C = A_1 \backslash C[/tex]?

[Charlatan]

Tusen takk for svar. Må innrømme jeg ikke skjønner hvorfor man skulle se dette "lett". (men håper man blir flinkere i slikt etterhvert)

Hvorfor er [tex]A \backslash C = A_1 \backslash C[/tex]?

Ingen årsak. [tex]A \backslash C = A_1 \backslash C[/tex] gjelder fordi [tex]C_0 = A \backslash A_1[/tex]. Et enkelt venn-diagram illustrerer dette ganske godt.

[FredrikM]

Ser ut som likheten [tex]A \backslash C = A_1 \backslash C[/tex] ikke er essensiell for beviset.

Men siden [tex]A_1 \subset A[/tex], må ikke [tex]A_1 \backslash C \subset A \backslash C[/tex]? Tenker at siden [tex]g \circ f : A \to A_1[/tex], så er [tex]C \subset A_1[/tex].

Men for meg ser det ut som om beviset virker fint uten likheten, så er ikke så viktig.

[Charlatan]

Hvis ikke [tex]A \backslash C = A_1 \backslash C[/tex], så hadde jeg ikke kunne sagt at det finnes en y slik at [tex]g(y) = x[/tex], ettersom [tex]A \backslash A_1[/tex] ikke ligger i [tex]g(B)[/tex] (verdimengden til g), så likheten er nødvendig.

[tex]A_1 \subset A[/tex] medfører ikke at [tex]A_1 \backslash C \subset A \backslash C[/tex], ettersom [tex]C[/tex] ikke er inneholdt i [tex]A_1[/tex]. Husk at [tex]C_0 = A \backslash A_1 \not \subseteq A_1[/tex], og [tex]C_0 \subset C[/tex].

EDIT: En liten detalj: Nå ser jeg i dokumentet at man kun krever at [tex]A_1 \subseteq A[/tex], så det er mulig at [tex]C[/tex] er inneholdt i [tex]A_1[/tex] (ved at [tex]A_1 = A[/tex]), men likheten er fremdeles nødvendig på generelt grunnlag.