Bevise rota av to

[mathme]

Hei

Jeg har en del problemer med tankegangen her.
Jeg vil bevise at rota av to er et irrasjonell tall.


[tex]sqrt{2}[/tex] er et irrasjonell tall.

Jeg tar et indirekte bevis

[tex]sqrt{2}[/tex] er et rasjonell tall.

[tex]sqrt{2} = \frac{a}{b} [/tex]

Så beviser jeg at a og b er begge partall, DET jeg derimot ikke forstår er hvorfor to partall ikke kan være et rasjonell tall?

Jeg mener at når jeg beviser at

a^2 = 2b^2 , dermed a = 2b (partall)
b^2 = 2k^2 , dermed b = 2k (partall)

så beviser jeg også at rota av to er et rasjonell tall, da to partall dividert på hverandre kan gi et brøk og dermed et rasjonell tall.

Kan noen vær så snill forklare hvorfor og hvor jeg tenker feil !?
Tusen takk

[espen180]

Trikset er å anta at [tex]\sqrt{2}=\frac{a}{b}[/tex] der [tex]a[/tex] og [tex]b[/tex] er heltall og brøken er fullstendig forkortet, så jobbe deg frem til en motsigelse.

[mathme]

Trikset er å anta at [tex]\sqrt{2}=\frac{a}{b}[/tex] der [tex]a[/tex] og [tex]b[/tex] er heltall og brøken er fullstendig forkortet, så jobbe deg frem til en motsigelse.

Det er det det står i boka, men hvorfor er det riktig. Jeg mener når jeg finner at 2a/2b, så beviser jeg at brøken ikke er fullstendig forkortet og ikke noe mer. Jeg skjønner ikke hvorfor dette beviser at rota av to er irrasjonell.

[Gommle]

Om du viser at de er hele tall, har du bevist at brøken er rasjonell. Om du viser at den kan forkortes, har du vist at a og b er hele tall.