Skal vise at [tex]Re(z) = 0 \ \forall\ z[/tex] når [tex] (z+1)^{100}=(z-1)^{100}[/tex].
Ser at
[tex]\omega^{100}=\left(\frac{z+1}{z-1}\right)^{100} = 1[/tex]
og finner at [tex]\omega_k = e^{\frac{k\pi i}{50}}, k=0,1,2,...,99[/tex].
Dermed må
[tex]\frac{z+1}{z-1} = \omega_k \Leftright z = \frac{1+\omega_k}{\omega_k -1}[/tex],
men hvordan kan jeg vise at [tex]Re(z) = 0[/tex] for alle k?
Vise at realdel av komplekse løsninger må være null.
Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
-
- Ramanujan
- Posts: 260
- Joined: 16/04-2009 21:41
[tex]\small{\text{atm: fys1120, ast1100, mat1120, mat2410 \ . Prev: mat1110, fys-mek1110, mek1100, mat1100, mat-inf1100, inf1100}}[/tex]
Sett [tex]a=\cos(\frac{\pi ki}{50})[/tex] og [tex]b=\sin(\frac{\pi k i}{50})[/tex].
Da er z på formen [tex]\frac{1+a+ib}{-1+a+ib}[/tex] som kan skrives om på standard form ved å multiplisere med den konjugerte av nevneren over og under brøken. Vi får at [tex]z=\frac{bi}{a-1}[/tex] som er rent imaginær.
Da er z på formen [tex]\frac{1+a+ib}{-1+a+ib}[/tex] som kan skrives om på standard form ved å multiplisere med den konjugerte av nevneren over og under brøken. Vi får at [tex]z=\frac{bi}{a-1}[/tex] som er rent imaginær.