Kompleks avbildning og effekt på Riemann kulen.

[Betelgeuse]

Skal vise at avbildningen [tex]\omega = \frac{1+z}{1-z}[/tex] korresponderer til en rotasjon tilsvarende 90 grader om x_2-aksen på Riemann kulen. De stereografiske projeksjonene fra det komplekse planet over til Riemann kulen er gitt ved

[tex]x_1 = \frac{2Re(z)}{|z|^2 +1}[/tex], [tex]\ x_2 = \frac{2im(z)}{|z|^2 +1}, \ x_3 = \frac{|z|^2 -1}{|z|^2 +1}[/tex]

Jeg prøvde meg på å omskrive avbildningen til

[tex]\frac{1-z^2}{|1-z|^2}[/tex] og så skrive [tex]z = Rez + Imzi = rcos\theta + i rsin\theta[/tex] og ta det derifra, men sliter med å komme i mål.

Jeg skal vel til slutt få at [tex]\hat{x_1} = - x_3, \ \ \hat{x_2} = x_2, \ \ \hat{x_3} = x_1[/tex]? Hvor [tex]\hat{x_1}, \ \ \hat{x_2}, \ \ \hat{x_3} [/tex] er koordinatene til projeksjonen av [tex]\omega[/tex] på Riemann kulen.

[Gustav]

Du kan jo evt. bare bruke den inverse stereografiske projeksjonen på w, rotere -90 grader med den kjente rotasjonsmatrisen og vise at dette blir det samme som å bruke den inverse projeksjonen på z.