Bevis for Cauchy-Riemann likn

[Betelgeuse]

Referer til bevis for Cauchy-Riemann likningene i polarform på http://myyn.org/m/article/proof-to-cauc ... ordinates/ og lurer på overgangen [tex]\lim_{h\to 0} \frac{f(r_0 e^{i\theta_0} + r_0e^{\theta_0 + h}) - f(r_0e^{i\theta_0})}{r_0e^{i\theta_0}(e^{ih}-1)} = \lim_{h\to 0} \frac{f(r_0e^{\theta_0 + h}) - f(r_0e^{i\theta_0})}{he^{i\theta_0}[/tex]. Noen som kan forklare meg hvorfor denne er gyldig?

[Gustav]

Referer til bevis for Cauchy-Riemann likningene i polarform på http://myyn.org/m/article/proof-to-cauc ... ordinates/ og lurer på overgangen [tex]\lim_{h\to 0} \frac{f(r_0 e^{i\theta_0} + r_0e^{\theta_0 + h}) - f(r_0e^{i\theta_0})}{r_0e^{i\theta_0}(e^{ih}-1)} = \lim_{h\to 0} \frac{f(r_0e^{\theta_0 + h}) - f(r_0e^{i\theta_0})}{he^{i\theta_0}[/tex]. Noen som kan forklare meg hvorfor denne er gyldig?

For meg virker det som det er opptil flere feil i denne utregningen. Det skal vel være

[tex]\lim_{h\to 0} \frac{f(r_0e^{i\theta_0 + ih}) - f(r_0e^{i\theta_0})}{r_0e^{i\theta_0}(e^{ih}-1)} = \lim_{h\to 0} \frac{f(r_0e^{i\theta_0 + ih}) - f(r_0e^{i\theta_0})}{r_0ihe^{i\theta_0}[/tex] der de har brukt L'Hopital på grensen [tex]\lim_{h\to 0}\frac{h}{e^{ih}-1}=\frac{1}{i}[/tex]

[Betelgeuse]

I see. Men hvordan kan vi konstruere denne grensen [tex]\frac{h}{e^{ih}-1}[/tex] og ta den alene ut ifra det første uttrykket?

[Gustav]

I see. Men hvordan kan vi konstruere denne grensen [tex]\frac{h}{e^{ih}-1}[/tex] og ta den alene ut ifra det første uttrykket?

Generelt er

[tex]\lim_{x\to a}\left ( f(x)g(x)\right )= \lim_{x\to a} f(x)\lim_{x\to a} g(x)[/tex] dersom begge grensene på høyresida eksisterer.