Vise at en kompleks funksjon er ingensteds analytisk.

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk på høyskolenivå. Alle som har kunnskapen er velkommen med et svar. Men, ikke forvent at admin i matematikk.net er spesielt aktive her.

Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa

Post Reply
Betelgeuse
Ramanujan
Ramanujan
Posts: 260
Joined: 16/04-2009 21:41

Har et resultat som sier at for en analytisk funksjon f(z) så er f(z) konstant på et domene D hvis en av de følgende egenskapene holder på D: Re f(z) = konst, Im f(z) = konst, eller |f(z)|= konst.

Skal så vise ved motsigelse at f(z) = |z^2 - z| er ingensteds analytisk på grunn av akkurat dette resultatet.

Har en ide om at dette kan gjøres ved å anta at f er analytisk og så vise at et av de følgende egenskapene ovenfor holder på et domene + at f(z) ikke er konstant på dette domene. Videre ser jeg at Re f(z) = |f(z)| = f(z).. Men hvordan jeg kan gå frem for å vise dette ser jeg ikke.
[tex]\small{\text{atm: fys1120, ast1100, mat1120, mat2410 \ . Prev: mat1110, fys-mek1110, mek1100, mat1100, mat-inf1100, inf1100}}[/tex]
Karl_Erik
Guru
Guru
Posts: 1080
Joined: 22/10-2006 23:45

Hint: Absoluttverdien av et komplekst tall er reelt, og har derfor ingen imaginærdel.
Gustav
Tyrann
Tyrann
Posts: 4563
Joined: 12/12-2008 12:44

Anta at f er analytisk på en åpen disk B(z0:e) med senter i z0 og radius e>0.

Studerer du ligningen |z^2-z|=f(z0) er løsningen z lukkede kurver gjennom punktet z0, så uansett hvor liten du gjør radiusen e, vil aldri f(z) kunne være konstant på hele B.
Betelgeuse
Ramanujan
Ramanujan
Posts: 260
Joined: 16/04-2009 21:41

Karl-Erik: Denne observasjonen hadde jeg jo faktisk gjort meg. Jeg nevnte jo at f(z) = Ref(z). Morsomt hvor nær man kan være løsningen og fortsatt forbli blind for den. Men takk for at du gjorde meg mer oppmerksom ;)

Plutarco: Dette prøvde jeg meg på. Det som stoppet meg var at jeg hang meg opp i hvordan kurver dette kunne være, men de må jo selvfølgelig være kurver når de faktisk er konturkurver til en funksjon av to variable og ingen kurve kan vel tilsvare en åpen mengde? Alltid fint å se ting fra flere sider. Takk,takk :)
[tex]\small{\text{atm: fys1120, ast1100, mat1120, mat2410 \ . Prev: mat1110, fys-mek1110, mek1100, mat1100, mat-inf1100, inf1100}}[/tex]
Gustav
Tyrann
Tyrann
Posts: 4563
Joined: 12/12-2008 12:44

Janei, i dette tilfeller er vel nivåkurvene til f(z) sirkler (to punkter når k=0, to sirkler når k er mellom 0 og 1, og én sirkel når k>1), så da burde vel argumentet holde.

På den annen side fins det jo kurver som passererer gjennom alle punkter i f.eks. enhetskvadratet, http://en.wikipedia.org/wiki/Space-filling_curve

, men dette blir vel mer å regne som et patologisk moteksempel.
Post Reply