Problem - differensial

[krje1980]

Problem: The angle of elevation of the top of a tower is measured at two points A and B on the ground in the same direction from the base of the tower. The angles are 50 degrees at A and 35 degrees at B, each measured to within 1 degree. The distance AB is measured to be 100 m with error at most 0,1 %. What is the calculated height of the building, and by about how much can it be in error?

OK, denne oppgaven driver meg til vannvidd! Vær så snill noen og hjelp meg - dette gjelder del 2 av oppgaven!

Ved å tegne dette opp ser jeg at vi har en rettvinklet trekant med hjørner i tårnets base, tårnets topp og punkt B. Punkt A ligger på linjen mellom basen av tårnet og B.

For å finne høyden, h, finner jeg først hypotenusen i den rettvinklede trekanten. Først finner jeg vinklene i trekanten bygd opp av A, B og toppen av tårnet. Vi vet av vinkel B er 35 grader. Videre må vinkel A i denne trekanten være 180 - 50 = 130 grader. Den sisten vinkelen blir da 180 - 130 - 35 = 15 grader. Vi kan så bruke sinussetning til å finne hypotenusen til trekanten med hjører i tårnets base, tårnets topp og B. Vi får:

(sin 130)/x = (sin 15)/100

Løser for x og får at x = ca 295, 977.

Vi kan så finne høyden, h, ved å sette h = sin 35*295,977 = 169. Dette stemmer med fasiten!

Når jeg så skal løse del 2 av oppgaven vet jeg at jeg skal gjennomføre et differensialproblem hvor jeg finner et uttrykk for h gjennom lengden AB, vinkelen A og vinkelen B. Deretter skal jeg utføre partiell derivasjon på hver av disse tre.

Vi vet fra første del av oppgaven at h = sin B*hypotenusen til trekanten. Som vist over kan hypotenusen uttrykkes som (100*sin130)/sin 15. Altså som (AB*sin(180 - A)) / (sin (A - B))

Det endelige uttrykket for h blir derfor:

h = sin B * (AB*sin(180 - A)) / (sin (A - B))

Videre utfører jeg så partiell derivasjon på henholdsvis AB, vinkel A og vinkel B. Når jeg deriverer med tanke på AB skal svaret multipliseres med (0,1/100) for å finne feilmarginen. Når jeg deriverer med tanke på vinkel A og vinkel B skal hvert av svarene multipliseres med ( [symbol:pi] / 180) for å finne feilmarginen her. Deretter skal dette adderes. Jeg får imidlertid ikke svaret til å gå opp! Svaret skal være 24, men jeg får et svar under 10.

Dersom noen kunne vært så snill å bekrefte om tankegangen min er riktig ville jeg satt stor, stor pris på det. Da er det nemlig kun en teknisk feil under deriveringen jeg gjør. Men dersom jeg har tenkt feil i forhold til det å uttrykke h, så vil jo svaret bli galt uansett.

Please help! Jeg får ikke sove!

[krje1980]

Jeg fant akkurat ut at dersom jeg tar absoluttverdiene til de tre feilmarginverdiene får jeg faktisk riktig svar.

Når jeg deriverer med tanke på AB og vinkel B får jeg positive verdier, men når jeg deriverer med tanke på vinkel A får jeg en negativ verdi. Skal jeg da bare se bort i fra det negative fortegnet til As feilmargin? I så fall får jeg riktig svar.