Hei! På flere nettsteder, bl.a. wikipedia, står det at
“the set A=[0,1] ∩ Q of rational numbers between 0 and 1 (inclusive) is closed in the space of rational numbers, but A= [0,1] ∩ Q is not closed in the real numbers”
Definisjonen på en lukket mengde er jo at mengden skal inneholde alle sine egne grenser.
Men hvis vi fra A lager en følge 1,4 – 1,41 – 1,414 – 1,4142 osv., så er jo dette en konvergent følge hvor alle leddene er fra A,
men følgen konvergerer mot roten av 2, som ikke er i A. Og i så fall inneholder vel ikke A alle sine grenser, uansett om det ”omkring-liggende rom” er de rasjonale tall eller de relle tall?
Hmmm…. Hva er det jeg ikke har fått med meg her?
Lukkede mengder i metriske rom
Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
En mengde er lukket dersom den er komplementet av en åpen mengde. En åpen mengde, gitt at vi er i et metrisk rom (R og Q under den euklidske metrikken), er en mengde som inneholder en epsilon-ball om ethvert punkt i mengden. Etter den definisjonen er A lukket i Q ettersom Q/A = Q / [0,1] er åpen.
I R er det slik at en undermengde er lukket hvis og bare hvis den inneholder alle grenseverdier av følger i mengden. Grunnen til dette er at enhver konvergent følge konvergerer mot et tall i R. Av eksempelet du har gitt så inneholder ikke A grenseverdien til følgen du har foreslått. Den er derfor ikke lukket i R. Eller med andre ord er R/A ikke åpen i R.
Siden det er en ekvivalens mellom det å være lukket i R og å inneholde sine grenseverdier av konvergente følger, så er det mulig å definere en lukket mengde i R som en mengde som inneholder grenseverdiene av enhver konvergent følge. Dette resultatet er imidlertid ikke gyldig i Q (siden konvergente følger i Q ikke nødvendigvis har grenseverdier), så vi kan ikke definere lukkethet i Q på samme måte.
Men husk at lukkethet sin "egentlige" definisjon er komplementet av åpenhet.
PS: Hvis det ikke er snakk om metriske rom gir det ingen mening å snakke om epsilon-baller. Hvis vi snakker om et topologisk rom, sier vi at en åpen mengde er en mengde som tilhører topologien på rommet. Denne definisjonen er mer generell, og stemmer også for metriske rom, og det kan bevises.
I R er det slik at en undermengde er lukket hvis og bare hvis den inneholder alle grenseverdier av følger i mengden. Grunnen til dette er at enhver konvergent følge konvergerer mot et tall i R. Av eksempelet du har gitt så inneholder ikke A grenseverdien til følgen du har foreslått. Den er derfor ikke lukket i R. Eller med andre ord er R/A ikke åpen i R.
Siden det er en ekvivalens mellom det å være lukket i R og å inneholde sine grenseverdier av konvergente følger, så er det mulig å definere en lukket mengde i R som en mengde som inneholder grenseverdiene av enhver konvergent følge. Dette resultatet er imidlertid ikke gyldig i Q (siden konvergente følger i Q ikke nødvendigvis har grenseverdier), så vi kan ikke definere lukkethet i Q på samme måte.
Men husk at lukkethet sin "egentlige" definisjon er komplementet av åpenhet.
PS: Hvis det ikke er snakk om metriske rom gir det ingen mening å snakke om epsilon-baller. Hvis vi snakker om et topologisk rom, sier vi at en åpen mengde er en mengde som tilhører topologien på rommet. Denne definisjonen er mer generell, og stemmer også for metriske rom, og det kan bevises.