Skal bevise en generell formel for den j-te deriverte av produktet (fg).
[tex]\large{(fg)^{(j)} = \sum_{l=0}^j j!\frac{f^{(j-l)}}{(j-l)!} \cdot \frac{g^{(l)}}{l!}}[/tex].
I induksjonssteget gjorde jeg som følger..
[tex](fg)^{(j+1)} = ((fg)^{(j)})^\prime = \left(\sum_{l=0}^j j!\frac{f^{(j-l)}}{(j-l)!} \cdot \frac{g^{(l)}}{l!}\right)^\prime = \sum_{l=0}^j j!\frac{1}{(j-l)!} \cdot \frac{1}{l!}\left(f^{(j+1-l)}g^{(l)} + f^{(j-l)}g^{(l+1)}\right)[/tex]
Noen innvendinger om hvordan jeg kan få dette til å bli
[tex](fg)^{(j)} = \sum_{l=0}^{j+1} (j+1)!\frac{f^{(j+1-l)}}{(j+1-l)!} \cdot \frac{g^{(l)}}{l!}[/tex]?
Leibnitz formel.
Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
-
- Ramanujan
- Posts: 260
- Joined: 16/04-2009 21:41
[tex]\small{\text{atm: fys1120, ast1100, mat1120, mat2410 \ . Prev: mat1110, fys-mek1110, mek1100, mat1100, mat-inf1100, inf1100}}[/tex]
Skriv [tex](fg)^{(n+1)}[/tex] som [tex](f^{\prime}g + fg^{\prime})^{(n)} = (f^{\prime}g)^{(n)} + (fg^{\prime})^{(n)}[/tex] og sammenlign med uttrykket du fikk.
Legg merke til at [tex]\frac{j!}{(j-l)!l!} = { j \choose l}[/tex], og at uttrykket er veldig likt ekspansjonen av [tex](a+b)^n[/tex]
Legg merke til at [tex]\frac{j!}{(j-l)!l!} = { j \choose l}[/tex], og at uttrykket er veldig likt ekspansjonen av [tex](a+b)^n[/tex]