Unntatt 0 opphøyd i 0. Eksempler:
1^0 = 1
2^0 = 1
3^0 = 1
osv..
Hvorfor blir tall opphøyd i 0 alltid 1?
Moderatorer: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga
-
Gjest
Me snakkar her om ein tenleg konvensjon som er gjort for at formelen a^m * a^n = a^(m + n) også skal gjelda når 0 er involvert. For å forstå dette må du først vita litt om potensen a^x. Me avgrensar oss her til heiltal m og n:
a^n for n > 0 er definert slik at a^1 = 1 og a^k = a^(k - 1) * a
Me observerer at her gjeld formelen a^m * a^n = a^(m + n) for alle a og m,n naturlege tal (1, 2, 3, ...)
Me ynskjer no å definera a^n også for n = 0. For at formelen skal gjelda må me altså ha a^m * a^0 = a^m for alle m >= 0, dvs.
a^m * (a^0 - 1) = 0, som gjev a^m = 0 eller a^0 = 1. Det førstnemnde kan ikkje gjelda for a = 0, så då må me ha a=0 = 1. For a = 0 er derimot a^m = 0 for alle m > 1, så me må altså studera tilfellet m = 0:
0^0 * 0^0 = 0^0 gjev to kandidatar: 0^0 = 0 eller 0^0 = 1. Begge kandidatane oppfyller formelen a^m * a^n = a^(m + n), så difor er det meir passande å halda 0^0 udefinert.
Ved å utvida a^x til å gjelda for alle reelle tal x, så får me framleis at 0^0 ikkje kan bestemmast som éin av 0 eller 1, og me må framleis halda den udefinert (sidan det i enkelte formlar er mest praktisk å halda 0^0 som 0, medan det i andre er mest praktisk å halda den som 1).
a^n for n > 0 er definert slik at a^1 = 1 og a^k = a^(k - 1) * a
Me observerer at her gjeld formelen a^m * a^n = a^(m + n) for alle a og m,n naturlege tal (1, 2, 3, ...)
Me ynskjer no å definera a^n også for n = 0. For at formelen skal gjelda må me altså ha a^m * a^0 = a^m for alle m >= 0, dvs.
a^m * (a^0 - 1) = 0, som gjev a^m = 0 eller a^0 = 1. Det førstnemnde kan ikkje gjelda for a = 0, så då må me ha a=0 = 1. For a = 0 er derimot a^m = 0 for alle m > 1, så me må altså studera tilfellet m = 0:
0^0 * 0^0 = 0^0 gjev to kandidatar: 0^0 = 0 eller 0^0 = 1. Begge kandidatane oppfyller formelen a^m * a^n = a^(m + n), så difor er det meir passande å halda 0^0 udefinert.
Ved å utvida a^x til å gjelda for alle reelle tal x, så får me framleis at 0^0 ikkje kan bestemmast som éin av 0 eller 1, og me må framleis halda den udefinert (sidan det i enkelte formlar er mest praktisk å halda 0^0 som 0, medan det i andre er mest praktisk å halda den som 1).
-
Gjest
Viss du skal vera stringent, så er det faktisk verre. Du brukte formelen
a^(m + n) = a^m * a^n, men forklarte ikkje kvifor den også stemmer for m + n = 0 [med andre ord: korleis beviser du formelen?]. Poenget er at ved å definera a^0 som 1 for a ikkje null, så gjeld formelen også i dette tilfellet. [Det skal likevel takast med at ved å nytta ein annan definisjonsprosedyre for a^x enn det vanlege, så er nok beviset ditt korrekt, men ved standarddefinisjonen held det ikkje, sidan du har gått ut frå ein formel som allereie føreset at a^0 = 0, dvs. at du har eit sirkelbevis.]
For øvrig forklarte du ikkje kvifor me ikkje kan setja 0^0 = 1 utan vidare.
P.S. Dette er pirk og ingenting anna. I dei fleste tilfella vil "Bernoulli" sitt argument vera godt nok.
a^(m + n) = a^m * a^n, men forklarte ikkje kvifor den også stemmer for m + n = 0 [med andre ord: korleis beviser du formelen?]. Poenget er at ved å definera a^0 som 1 for a ikkje null, så gjeld formelen også i dette tilfellet. [Det skal likevel takast med at ved å nytta ein annan definisjonsprosedyre for a^x enn det vanlege, så er nok beviset ditt korrekt, men ved standarddefinisjonen held det ikkje, sidan du har gått ut frå ein formel som allereie føreset at a^0 = 0, dvs. at du har eit sirkelbevis.]
For øvrig forklarte du ikkje kvifor me ikkje kan setja 0^0 = 1 utan vidare.
P.S. Dette er pirk og ingenting anna. I dei fleste tilfella vil "Bernoulli" sitt argument vera godt nok.
Du har selvsagt helt rett i at dette ikke er noe skikkelig bevis. Det var heller ikke min mening. Jeg vet ikke i hvilket klassetrinn trådstarter går i, men jeg kan tippe 1. eller 2. klasse i vgs. Da er det ikke noe vits i å være så nøye som du var. Da synes jeg det er viktigere å satse på å forstå stoffet.
Mest sannsynelig kan han allerede formelen a^(m + n) = a^m * a^n , og at 1 = a/a for alle a ulik 0 og er endelig. Da er det forsåvidt ingen sak.
Når det gjelder 0^0 er det best å la den fortsatt være udefinert
Mest sannsynelig kan han allerede formelen a^(m + n) = a^m * a^n , og at 1 = a/a for alle a ulik 0 og er endelig. Da er det forsåvidt ingen sak.
Når det gjelder 0^0 er det best å la den fortsatt være udefinert