Integral av 1/cos^2(x)

[Nebuchadnezzar]

Kan noen hjelpe meg med å bevise at

[tex]\frac{1}{cos^2(x)}=tan(x)+C[/tex]

Her er det jeg har gjort. Kan noen se hva jeg har gjort feil?

[tex]= \int {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}} dx = \int {\frac{1}{{1 - {{\sin }^2}x}}} dx [/tex]

[tex] u = \sin x[/tex]

[tex] \frac{1}{{1 - {u^2}}} = \frac{1}{{\left( {1 - u} \right)\left( {1 + u} \right)}} = \frac{1}{{2\left( {u + 1} \right)}} - \frac{1}{{2\left( {u - 1} \right)}} [/tex]

[tex] = \int {\frac{1}{{2\left( {u + 1} \right)}} - \frac{1}{{2\left( {u - 1} \right)}}du} [/tex]

[tex] = \frac{1}{2}\left( {\ln \left( {u + 1} \right) - \ln \left( {u - 1} \right)} \right) + C [/tex]

[tex] = \frac{1}{2}\ln \left( {\frac{{u + 1}}{{u - 1}}} \right) + C [/tex]

[tex] = \frac{1}{2}\ln \left( {\frac{{\sin x + 1}}{{\sin x - 1}} \cdot \frac{{\sin x + 1}}{{\sin x + 1}}} \right) + C [/tex]

[tex] = \frac{1}{2}\ln \left( {\frac{{{{\left( {\sin x + 1} \right)}^2}}}{{ - \cos {x^2}}}} \right) + C [/tex]

[tex] = \ln \left( {\frac{{\sin x + 1}}{{ - \cos x}}} \right) + C [/tex]

Så hva gjør jeg videre? JEg vil ha hjelp, og hint ikke fasiten =)

[ettam]

Jeg har ikke sett på regningen din, men er det ikke lettere å derivere:

[tex]\left( \tan x + C \right)^\prime = \left( \frac{\sin x}{\cos x} + C \right)^\prime = ...[/tex]

[Nebuchadnezzar]

Joda, fikk det til på den måten.

Men hvordan går jeg andre veien ^^

[FredrikM]

Hint:
[tex]\frac{1}{\cos^2 x}=1+\tan^2 x[/tex]

(kan vises relativt enkelt)

[Nebuchadnezzar]

Ja, jeg kom så langt...

Spørsmålet blir vell heller hvordan integrerer jeg [tex]tan^2x[/tex]?

De fleste steder gir ingen forklaringer men skriver om [tex]tan^2x[/tex] til [tex]sec^2x-1[/tex]

Og dette hjelper meg ingenting... Kanskje bare det er meg som nekter å godta ting, uten å kunne utlede formlene...

[FredrikM]

Da setter du [tex]u= \tan x [/tex] slik at [tex]du=1+\tan^2 x dx[/tex].

[zell]

[tex]\int\frac{1}{\cos^2{x}}\rm{d}x[/tex]

[tex]\frac{1}{\cos^2{x}} = 1+\tan^2{x} \ \Rightarrow \ u = \tan{x}[/tex]

[tex]\frac{\rm{d}u}{\rm{d}x} =1+\tan^2{x}[/tex]

[tex]\frac{\rm{d}u}{\rm{d}x} = 1+u^2 \ \Rightarrow \ \frac{\rm{d}u}{1+u^2} = \rm{d}x[/tex]

[tex]\int 1+\tan^2{x}\rm{d}x = \int\frac{1+u^2}{1+u^2}\rm{d}u = u + C = \tan{x} + C[/tex]