Bevis med formelle grenser

[espen180]

Oppgaveteksten lyder:
Bevis at grenseverdier er unike. Hint: Anta $\underset{x\to a}{lim}f(x)=L$ og $\underset{x\to a}{lim}f(x)=M$ og bruk $ϵ=\frac{|L-M|}{3}$.

Mitt forsøk:

Anta at $L\ne M$. Da kan vi for hver $ϵ>0$ finne en $\delta >0$ slik at $0<|x-a|<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<ϵ\wedge |f(x)-M|<ϵ$.

Hvis vi velger $ϵ=\frac{|L-M|}{3}$ får vi at

$|f(x)-L|<\frac{|L-M|}{3}$ og $|f(x)-M|<\frac{|L-M|}{3}$

Hvis vi legger den ene ulikheten til den andre, får vi

$|f(x)-L|+|f(x)-M|<\frac{2|L-M|}{3}$

Av trekantulikheten har vi $|a+b|\le |a|+|b|$, og $|f(x)-L|=|L-f(x)|$, så vi har

$|L-M|<\frac{2|L-M|}{3}$

Som er en selvmotsigelse.



Holder dette mål?

[FredrikM]

Anta at $L\ne M$. Da kan vi for hver $ϵ>0$ finne en $\delta >0$ slik at $0<|x-a|<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<ϵ\wedge |f(x)-M|<ϵ$.

Det følger ikke fra antakelsen at det finnes en slik delta. Konsekvensen følger av at $M=limf=L$.

Ellers ser resten supert ut.

[Karl_Erik]

Anta at $L\ne M$. Da kan vi for hver $ϵ>0$ finne en $\delta >0$ slik at $0<|x-a|<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<ϵ\wedge |f(x)-M|<ϵ$.

Det følger ikke fra antakelsen at det finnes en slik delta. Konsekvensen følger av at $M=limf=L$.

Ellers ser resten supert ut.

Det følger nok fra antagelsen, jo, med et ettlinjesargument. Siden $f(x)$ går mot L finnes det, gitt en $ϵ$, en ${\delta }_1$ slik at $|f(x)-L|<|ϵ$ for alle $0<|x-a|<{\delta }_1$. Tilsvarende finnes en ${\delta }_2$ slik at $|f(x)-M|<ϵ$ for alle $0<|x-a|<{\delta }_2$. Du har rett i at disse deltaene ikke behøver å være like, men velger vi $\delta$ til å være den minste av disse to går beviset helt fint.

[FredrikM]

Ikke det jeg siktet til. Det følger ikke fra $L\ne M$ at det finnes slike deltaer. Det følger derimot fra $M=limf=L$ at det finnes slike deltaer.

(jeg er en språkpirker. I matematiske bevis skal hver eneste setning være presis og korrekt, og her var det jo tydelig at Espen hadde forståelsen - bare en liten glipp i formuleringen)

[espen180]

Takk for god respons!
Hvis jeg har forstått riktig, burde jeg omformulere

Anta at $L\ne M$. Da kan vi for hver $ϵ>0$ finne en $\delta >0$ slik at...

til

Anta at $L\ne M$. Siden vi antar at $\underset{x\to a}{lim}f(x)=L$ og $\underset{x\to a}{lim}f(x)=M$ kan vi for hver $ϵ>0$ finne en $\delta >0$ slik at...

[FredrikM]

Det var ihvertfall det jeg mente ;) (evt. fjern "vi antar at" og bare " og ta vare på "siden"^^)

[Vektormannen]

espen180 -- kan det stemme at vi tar MA1101 på NTNU i lag?

Uansett, kan jeg få hijacke tråden litt? Jeg holder på med samme øving (hvis vi har samme fag da), men løste oppgaven slik:

Anta at det finnes to unike grenseverdier $\underset{x\to a}{lim}f(x)=L$ og $\underset{x\to a}{lim}g(x)=M$. Da må det finnes ${\delta }_1>0$ slik at $0<|x-a|<{\delta }_1\Rightarrow |f(x)-L|<ϵ$ og ${\delta }_2$ slik at $0<|x-a|<{\delta }_2\Rightarrow |f(x)-M|<ϵ$.

Anta uten tap av generalitet at L > M. Velger $ϵ=\frac{|L-M|}{3}=\frac{L-M}{3}$. Har at $f(x)>L-\frac{L-M}{3}$ og $f(x)<M+\frac{L-M}{3}$. Men dette vil aldri være mulig da avstanden $L-\frac{L-M}{3}-(M+\frac{L-M}{3})=\frac{L-M}{3}>0$. Da fører antakelsen $M\ne L$ til at f(x) skal være element i to disjunkte intervaller for samme x og antakelsen må være feil.

Holder dette mål?

[Gommle]

Kanskje dere kjenner Sol? :p

[drgz]

Kanskje dere kjenner Sol? :p

Gjør du?

[Gommle]

Indeed.

[Realist1]

Jeg kjenner Sol.

[espen180]

espen180 -- kan det stemme at vi tar MA1101 på NTNU i lag?

Det er det gode sjanser for.

[AndreasSol]

skumle folk ):