Derivasjon av absoluttverdi

[yankee]

Hei. Er ny her men satser på å være aktiv, ihvertfall iform at spørsmål siden jeg lurer på mye i MAT111.

Det jeg sitter med nå er en oppgave:
y=|1-x^2|. Skal deriveres så det blir y`=-2x|1-x^2| tenkte jeg. Men fasiten sier at det skal bli -2xsgn(1-x^2).

Hvorfor blir det sgn her? Er det fordi det er minus 2x, dermed fjernes absoluttverdi tegnet?

[Vektormannen]

Nei. Du har derivert feil. Kjerneregelen sier at du skal derivere den ytre funksjonen med hensyn på kjernefunksjonen og gange men deriverte av kjernefunksjonen. Du har bare latt den ytre funksjonen stå og ganget med den deriverte av kjernen.

Hva er den deriverte til [tex]y = |x|[/tex]?

[yankee]

Den deriverte til y=|x| er vel x/|x|?

Så da blir det altså (1-x^2)/|1-x^2| * -2x.

Noe som blir -2x(1-x^2)/|1-x^2|.

Er det bare en annen skrivemåte eller dette også riv ruskende feil?

[Vektormannen]

Nei, dette er riktig, og det er som du sier bare en annen skrivemåte.

[tex]\text{sgn}(x) = \frac{x}{|x|}[/tex]. Tenk deg at du tar et tall x og deler bort tallverdien til x. Da vil du stå igjen med 1 og fortegnet vil være fortegnet til x, siden |x| er positiv. F.eks. har du at [tex]\text{sgn}(-3) = \frac{-3}{|-3|} = \frac{-3}{3} = -1[/tex] mens [tex]\text{sgn}(5) = \frac{5}{|5|} = \frac{5}{5} = 1[/tex].

[yankee]

Så hvis |x| hadde vært inni en parentes ville det blitt f.eks:

y=(2+|x|^3)^1/3.
y`=1/3(2+|x|^3)^-2/3 ... Her sliter jeg litt med neste steg. Regner med jeg skal derivere kjernen nå, som vil bli 3x^2. Men forstår ikke gangen videre siden dette ikke stemmer med fasiten som sier
y`=1/3(2+|x|^3)^-2/3 3|x|^2 sgn x.

Som videre gir |x|^2(2+|x|^3)^-2/3.

Hva gjør jeg feil?

[Vektormannen]

Her har du flere sammensatte funksjoner. Det neste steget ditt blir å gange med deriverte av kjernen til den ytterste funksjonen, som er [tex]2 + |x|^3[/tex]. Men her er [tex]|x|^3[/tex] en sammensatt funksjon så du må altså bruke kjerneregelen om igjen. Det vil i sin tur involvere å derivere [tex]|x|[/tex] som igjen er en sammensatt funksjon.

[yankee]

Okei, skal prøve meg fram, tror jeg forsto endel av det.

takk for hjelpen.