Vektorregning 3.19 (utfordring)

[SebSk]

Hei. Vil først si at jeg kom frem til diverse svar, bla tilnærmet lik fasitsvaret. Klarer ikke forklare hvorfor. Har regnet oppgaven uten å se på neste side, ettersom oppgaven da ville mistet sin mening (for meg personlig).

Bruker Sigma (sum)R1 fra Gyldendahls forlag.

Oppgaven blir nok vanskelig uten illustrasjoner, men her er i hvert fall fakta:

Vi har en elv som renner mot "høyre" (x-aksen om du vil) med en kraft på 4m/s. En kar sikter baugen 90 grader mot elvebredden (y-aksen i så tilfelle), og ror med en kraft på 5m/s. I eksempelet oppgaven tar utgangspunkt i, finner vi ut at båten vil forflytte seg tilnærmet lik 38,7 grader (vinkelen mellom y-aksen og vektoren/retningen til båten) med en kraft på 6,4m/s.

Selve oppgaven er idiotisk formulert, men vi skal i hvert fall finne ut vinkelen (ikke spør meg om forholdene, regner med at det er vinkelen mellom "gamle y-aksen" - altså tvers over elva, og den nye retnigen) han må ro.

Har regna alt for mye og alt for lenge på dette så jeg bare forvirrer meg selv.

Første logikken tilsa å trekke 38,7 grader fra 90 grader enkelt og greit (og ja jeg kan bevise med |a->| og |b->| ettersom de nå er gitt). 51,3 er et fint tall dét, men det er 53,1 vi er ute etter. Om vi skal tro fasiten.

Etter en del regning fikk jeg tilnærmet lik 53,1 (regner med at fasitsvaret også er tilnærmet lik, som de fleste andre svar) men klarte ikke se sammenhengen. Deler jeg 5,0m/s på 6,4m/s får jeg 0,78125, hvilket blir 53,1 dersom du adderer 51,3 (nevnt ovenfor) og tilnærmet lik 1. Trodde jeg var inne på noe men det er jo hundrevis av tan, tan-1, cos, sin, etc. x NUMMER som blir tilnærmet lik 1. Klarte heller ikke se den logiske sammenhengen.

Siste jeg gjorde (dette er kort sammendrag, sikkert sittet 5 timer eller no) var å se på den rent fysisk.

Dersom han skal forholde seg i rett linje/ende opp 90 grader ovenfor der han startet, må han ro oppstrøms med en kraft på 4m/s. Logisk nok. Siden han bare orker å yte 5m/s totalt (vel vi regner med samme kraft som i eksempelet ja?) så blir det bare 1m/s igjen han turer over mot andre siden med.
Dette gir en vektor på 4,123105626 og en vinkel på tilnærmet lik 75,94 grader.

DETTE ER DET NÆRMESTE JEG KOMMER ET LOGISK SVAR JEG KAN FORSTÅ!

Vær så snill og hjelp Hadde vært deilig å se at fasiten faktisk hadde feil, men kanskje enda deiligere å forstå sammenhengene her.
Jeg vet oppgaven er komplisert og kanskje ikke meningen å forstå, men jeg mener at dersom man visste om formler som kommer senere, så vil oppgaven miste poenget sitt.. veit det jeg er sta matematikkprinsipp steinerskolewannabe..

Tusen takk på forhånd:)

[Vektormannen]

Det siste du nevner der, er nok det nærmeste et riktig svar. Tegn opp en figur. Han ror med farten (ikke kraft) 5m/s i en eller annen retning mot strømmen. Du ønsker å finne retningen slik at farten hans er 4m/s i retning langs elven.

Tegn opp en figur med den ønskede fartsvektoren. Fartsvektoren må peke oppover elven. Denne vektoren er summen av farten hans tvers over elven (nokså liten) og farten hans mot elven (mot venstre). Disse tre vektorene danner en rettvinklet trekant. Fartsvektoren er hypotenusen og har lengde 5. Fartsvektoren mot elven er motstående katet, og den vet du må være 4. Hvordan kan du da finne vinkelen?

edit: slenge opp en figur også:

[SebSk]

Beklager, fart, jeg mente det jeg og i følge fysikken, men tror det stod "kraft" i matteboka


Jeg har vært grundig innom det du viser til der.. har du regna det ut på kalkulator?

I dette andre forsøket (som er oppgaven) påvirker jo strømmen han i negativ retning med 4,0 m/s ?
Jeg tenkte da at den totale kraften (hvis det er fart så har jeg da tenkt feil) er 5,0 m/s, og at han bruker 4,0 av dem på å holde seg langs x-aksen (altså tvers over elva). Det etterlater 1,0 som blir den korte kateten (edit: altså x-aksen/rett over elva), og [symbol:tilnaermet] 4,12 som hypotenus (altså vektoren)... cos-1 blir da ca. 75,94 grader..

Det er nok her jeg sliter

Edit 2: Stod nok fart ja, ikke kraft :p Så strømretningen har ikke noe å si? Er for gammel og praktisk til slik matte :p

[SebSk]

Vil gjerne legge til at dette ikke er lekser eller noe slikt (får sjelden det i klassen på Sonans) men regner for å forstå, slik at jeg kan gjøre det igjen siden.

Elsker problemløsing og sitter heller noen timer med én oppgave og klarer den enn å rushe igjennom 30 oppgaver
MEN
Er litt desperat her.. klarte den verste sannsynlighetsoppgaven i boka men da brukte jeg "bare" [symbol:tilnaermet] 2 timer..

Fantastisk side. Sigmas side er håpløs, ikke i nærheten en gang. Mer en "samlede verker" enn en utgivelse...

Leggetid, sjekker innom i morgen:) Fantastisk at folk er så villige til å hjelpe som jeg ser her inne blir nesten rørt :p

[Vektormannen]

Du tenker litt feil når du sier at hvis han ror med 4m/s mot strømmen, så er det 1m/s "til overs". Da får du jo hypotenusen (den faktiske farten hans) til å bli mindre enn 5m/s, men han ror jo fortere enn det! Slik du tenker kan du jo i neste omgang si at han ror med 4.12m/s, så hvis han ror med 4m/s mot strømmen så er det bare 0.2m/s" til overs", som gir en ny fart og så videre.

Situasjonen blir slik jeg tegnet på figuren. Farten hans er en vektor som er lik summen av fart i retning tvers over elven, pluss farten i retning mot elvestrømmen. Disse må være så lange at de danner den rettvinklede trekanten du ser på figuren. Da vil pytagoras gi at farten hans i retning tvers over elven faktisk er [tex]\sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{3^2} = 3[/tex] m/s. Men denne farten er ikke nødvendig å vite for å finne vinkelen. Når du vet hypotenus (5m/s) og motstående katet (4m/s) er jo det nok til å finne vinkelen -- hvordan finner du den?

[SebSk]

Haaa før jeg regner noe som helst tror jeg at jeg ser hva jeg gjorde feil.. Tenkte slik ganske tidlig men Regnet med at det var hypotenusen vi skulle finne.. og som du sier blir jo det feil, vi mangler et katet! Det som er så rart med matte.. når du ser det blir det så enkelt :p

sin-1 4/5

Herregud... jeg visste ikke det var mulig å sitte så lenge og gå rundt grøten :p Bruker vi det uttrykket er var det ikke mye grøt igjen i midten å gå rundt.

Så enkelt. Wow. Måtte bare litt kreativ tenking til i en oppgave som allerede er litt "out of the box"

Lo høyt da jeg så svaret.

TUSEN TAKK for hjelpa!

En siste ting! For at jeg virkelig skal skjønne det - Elvas fartsretning HAR innvirkning på resultatet, men.. i stedet for 5-4 som jeg skrev, så er det [symbol:rot] (5^2 - 4^2) som jo blir 3. Ikke 1. Som igjen gir en mer logisk retning over elva.. og som du sier så skal jo selvfølgelig den totale farten være 5. Glemte rett og slett å inkorporere fysikk og pytagoras helt inn i hverandre, blir jo samme regnemetode:)

Synes jeg gjorde mye riktig da:) Oppgaven lyder: "Hvordan må vi ro båten for at den skal gå rett over elva?" og vi har fått gitt en trekant med H6,4 k4,0 K5,0 og <(K,H) hvor vi vet "k" er elva og "K" er hvor fort mannen ror:)

Tusen takk igjen! Så delig å skjønne hvorfor også:D

[SebSk]

Haha burde observert at jeg fikk hjelp fra Vektormannen med en gang:) Hadde jeg nok hoppet over 2 innlegg

[Vektormannen]

Flott at du forsto det

Det kan kanskje virke litt uintuitivt og merkelig til å begynne med at man ikke kan tenke som i én dimensjon, der noe alltid beveger seg langs en rett linje. Hvis vi bare hadde tenkt i én retning, ville det jo stemt at 5m/s - 4m/s = 1m/s. Men når vi er i to dimensjoner, er det ikke sånn. Et kjapt eksempel viser det: La oss si at du ror på en stille elv. Du ror i en retning på skrå oppover elven. Da beveger du deg litt på tvers av elven, og litt langs med elven. Totalt sett gjør disse bevegelsene at du beveger deg på skrå. La oss si at du har farten 5m/s og du vet at du ror i 4m/s langs med elva. La oss nå anta at vi da har 1m/s "til overs" i retning tvers over elven. Etter 2s har du da rodd 5m/s * 2s = 10m på skrå, 4m/s * 2s = 8m langs med elven, og 1m/s * 2s = 2m på tvers. Summen av lengden du har rodd på tvers og på langs blir riktig nok 10m, men tegner du en figur så ser du jo at du har en rettvinklet trekant hvor [tex]\sqrt{10^2 - 8^2} = \sqrt{36} = 6 \neq 2[/tex]. Så farten på tvers over elven kan ikke være 1m/s, den må være større.

[SebSk]

Tusen takk igjen

Jeg ser det.

Dersom jeg tegner opp 6m tvers over, 8m langsmed elva og 10m på skrå så ville vi jo i praksis, om vi rodde (i en stillestående elv) først tvers over, og så langsmed elven, rodd 6+8=14 meter. Men om man tar veien på skrå, så blir jo det mye kortere... går ikke an å bare legge til å trekke fra for å finne siste "side" i trekanten!

Føles ut som om et eple har dettet ned i hodet på meg:)