Spørsmål om invers funksjon

[Piraya for matte]

Hei folkens. Stresser med følgende oppgave:

[tex]y=\sqrt{x^3-1}[/tex], der X er større eller like stor som 1.

a) Har denne ein invers funksjon, isåfall kvifor. Fint om nokon kunne bruke veldig enkle ord, slik at det kan forstås av ein middelmådig mattefyr. Forsår at funksjonen må vere einhetlig for at den skal ha invers, men forstår ikkje kva einhetlig er.

b) Bestem definisjonsmengden og verdimengden til inversfunksjonen, og finn eit uttrykk for inversfunksjonen

Foreløpig utrekning for invers uttrykk:( sikkert feil):

[tex]f(x)= \sqrt{x^3-1}=y[/tex]
[tex]x^3-1=y^2[/tex]
[tex]x^3=y^2+1[/tex]
[tex]\sqrt x^3=sqrt y^2+1[/tex]
[tex]x^2=y+1[/tex] Tar kvadratrot av X2 her og får:
[tex]x=\pm\sqrt {y+1}[/tex]

Er eg på jordet eller?

[Karl_Erik]

At en funksjon har en invers funksjon betyr mer eller mindre at hvis du vet funksjonsverdien kan du finne ut av hva x var. [tex]x^2[/tex] definert for alle tall har ikke en inversfunksjon, siden funksjonen av -1 og 1 er den samme. Denne funksjonen har en inversfunksjon, for om du vet hva y er, vet du også hva [tex]x^3-1[/tex] er. (nemlig y^2) Da vet du også hva [tex]x^3[/tex] er, og når du vet dette, vet du også hva [tex]x[/tex] er.

For å finne inversfunksjonen må du finne et uttrykk som gir deg x om du kjenner y. Du har begynt riktig, men du roter litt. Det er feil å gå fra [tex]x^3=y^2+1[/tex] til at [tex]x^2=y+1[/tex], men om du tar tredjerota av begge sider får du x alene på den ene siden, som var det du ville.

[Piraya for matte]

x^2 definert for alle tall har ikke en inversfunksjon, siden funksjonen av -1 og 1 er den samme

Korleis blir funksjonen av -1 og 1 den samme?


om du tar tredjerota av begge sider får du x alene på den ene siden, som var det du ville.

[tex]\sqrt[3]x^3=\sqrt[3]{y^2+1}[/tex]
[tex]x=?[/tex]

Slik?Men kva skjer med (y^2+1) hvis man tek tredjerota av den?

[Vektormannen]

Det skjer ikke noe med den. Du kan ikke forenkle den noe. Den må bare stå slik den er.

Angående [tex]f(x) = x^2[/tex] (definert for alle reelle tall) så har ikke den noen inversfunksjon, siden både f(-1) og f(1) gir samme verdi 1. Kan du tenke deg hvorfor? (Inversfunksjonen av et tall k skal gi deg tilbake det du satte inn i f for å få ut k.)

[Piraya for matte]

Angående [tex]f(x) = x^2[/tex] (definert for alle reelle tall) så har ikke den noen inversfunksjon, siden både f(-1) og f(1) gir samme verdi 1. Kan du tenke deg hvorfor?

Fordi du ikkje kan spore den tilbake til ein konkret X verdi, men får to mulige? Den er ikkje einhetlig?

[tex]x=\sqrt[3]{y^2+1}[/tex]

Ok, dette er inversfunksjonen. Kva med definisjonsmengde og verdimengd til inversen?
Verdimengde blir alle verdiar på f(x) aksen som korresponderer med ein gitt verdi på X aksen eller?

[Piraya for matte]

Ok, så her har me, ved hjelp av Y uttrykket i oppgava, rekonstruert kva X verdien i oppgava var. [tex]x=\sqrt[3]{y^2+1}[/tex]

[tex]f^-1(x)=\sqrt[3]{x^2+1}[/tex]

Her bytter ein Y og X for å finne det fullstendige inversuttrykket?

Er det mulig å teikne dette som graf,og slik lese av verdimengde? Disse kvadratrøttene forvirrer meg.


Edit: Klarte faktisk å lage in graf av det, og funksjon og inversfunksjon framstår som speilvendte størrelser, hurra. Sidan Vf og Df bytter plass i inversfunksjonen :

Vf=[0,uendelig>
Df=[1, uendelig>

Kan det stemme, mon tru?