Har den inhomogene førsteordensligningen :
x(n+1)-3x(n) = 5**(-n)
Hvordan går man frem for å finne den partikulære løsningen for en negativ eksponent?
differensligning
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
[tex]x_{n+1}-3x_n=5^{-n}[/tex]
Gjetter på partikulærløsning [tex]x_n=Ak^{Bn}[/tex]
Innsatt i ligningen får vi
[tex]Ak^{Bn+B}-3Ak^{Bn}=5^{-n}[/tex]
[tex](Ak^B-3A)k^{Bn}=5^{-n}[/tex] så vi bør ha at
[tex]k=5[/tex], [tex]B=-1[/tex] og [tex]A(5^{-1}-3)=1[/tex]
Vi får dermed at [tex]A=\frac{1}{5^{-1}-3}[/tex] og en mulig løsning blir
[tex]x_n=Ak^{Bn}=\frac{1}{5^{-1}-3}5^{-n}=-\frac{5^{-n+1}}{14}[/tex].
Gjetter på partikulærløsning [tex]x_n=Ak^{Bn}[/tex]
Innsatt i ligningen får vi
[tex]Ak^{Bn+B}-3Ak^{Bn}=5^{-n}[/tex]
[tex](Ak^B-3A)k^{Bn}=5^{-n}[/tex] så vi bør ha at
[tex]k=5[/tex], [tex]B=-1[/tex] og [tex]A(5^{-1}-3)=1[/tex]
Vi får dermed at [tex]A=\frac{1}{5^{-1}-3}[/tex] og en mulig løsning blir
[tex]x_n=Ak^{Bn}=\frac{1}{5^{-1}-3}5^{-n}=-\frac{5^{-n+1}}{14}[/tex].