Prøve Fy2 - Rettlinja og krummlinja Røsle 27.10.10

[Nebuchadnezzar]

[tex]\,[/tex]
Prøve Fy2 27.10.10

NB Tegningene er en del av løsningene

Oppgave 1
En fjærkanon ligger på kanten av et vannrett bord. Fjærstivheten er 30,0 N/m.
Vi presser fjæren sammen 12,5 cm og legger en kule med masse 30,0 gram inntil fjæren. Bordet er 90 cm høyt. Hvor på gulvet må vi plassere målet for at kulen skal treffe?

Oppgave 2
En bil med masse 1100 kg kjører i en horisontal sirkelformet sving med radius 140 m. Svingen er ikke dosert. Bilen har konstant banefart 23 m/s. Friksjonstallet er 0.60.
a) Regn ut akselerasjonen.
b) Hvor stor er friksjonskraften?
c) Hvor stor er den maksimale farten bilen kan holde i vingen uten å miste veigrepet?
d) Dersom du kjørte på friksjonsfritt underlag i samme farten, hva måtte da doseringen være for at bilen skulle holde seg i svingen.

Oppgave 3
En lekebil ruller oppover et skråplan med helningsvinkel 12 grader. Startfarten i bunnen av skråplanet er 2.5 m/s. Hvor langt oppover skråplanet kommer bilen?

Oppgave 4
En jente sparker en fotball med utgangsfart 29 m/s. Utgangsvinkel er 50 grader. Vi ser bort fra luftmotstand.
a) Lag en vektorfunksjon som beskriver posisjonen til ballen for ethvert tidspunkt.
b) Finn farten i det høyeste punktet.
c) Hvor høyt kommer ballen?
d) Hva er farten når ballen treffer igjen bakken?
e) Hvor langt er det til nedslagspunktet målt langs bakken?
f) Hvor stor fart har ballen etter 3.0 s og hvor er den da?

[Nebuchadnezzar]

Legger ut fasit her, noen oppgaver var jeg litt usikker på.

Noen andre som orker å slenge ut noen raske svar?

--------------------------------------------

Fasit



Oppgave 1

En fjærkanon ligger på kanten av et vannrett bord. Fjærstivheten er 30,0 N/m. Vi presser fjæren sammen 12,5 cm og
legger en kule med masse 30,0 gram inntil fjæren. Bordet er 90 cm høyt. Hvor på gulvet må vi plassere målet for at kulen skal treffe

Først finner vi utgangsfarten ved bruk av bevaring av mekanisk energi
Her sammenligner jeg energien akkuratt idet kula passerer likevektstillingen, og når kula er trykt helt sammen.

Vi regner med at energien er bevart, og at det ikke er noen friksjon eller varmetap.

[tex] {E_0} \, = \, E [/tex]

Vi vet at kula er i ro når vi holder den helt inntill kanonen, vi vet også at fjærkrafta er null, i likevektstillinga.
Siden den ligger på et bord er det heller ingen høydeforkskjell. Setter så inn det vi vet

[tex] , \frac{1}{2}k{x_0}^2 \, = \, \frac{1}{2}m{v^2} \, [/tex]

Løser med tanke på farta

[tex] v = \sqrt {\frac{{k{x_0^2}}}{m}} [/tex]

Nå som vi har farten kan vi sette opp en parameterfremstilling for strekningen til kula. Om vi ser på bevegelsen kunn i horisontal retning får vi

[tex] y \, = \, v_0_y\,\cdot\,t \, + \, \frac{1}{2}gt^2[/tex]

Her ser vi at begynnelsefarten i horisontal retning er null, og vi regner positiv retning som nedover, da får vi. Høyden over bakken etter t sekunder blir da:

[tex] h \, = \, \frac{1}{2}gt^2[/tex]

Løser med tanke på tida.

[tex] t \, = \, sqrt{\frac{2h}{g}[/tex]

Strekningen i horisontal retning er gitt ved

[tex] x \, = \, v_0_y \, \cdot \, t[/tex]

Vi vet farten og tiden, og setter inn disse verdiene.

[tex] x \, = \, \sqrt {\frac{{k{x_0^2}}}{m}} \, \cdot \, sqrt{\frac{2h}{g}[/tex]

[tex] x \, = \, \sqrt {\frac{{30 \cdot{0.125^2}}}{0.03}} \, \cdot \, sqrt{\frac{2\cdot0.90}{9.81}[/tex]

[tex]x \, = \, 1,693213653696490891690541716268[/tex]

[tex]\underline{\underline{\text{Plasserer vi blinken ca 1.7 meter unna treff kula}}}[/tex]

Tegning





Oppgave 2

En bil med masse 1100 kg kjører i en horisontal sirkelformet sving med radius 140 m. Svingen er ikke dosert. Bilen har konstant banefart 23 m/s. Friksjonstallet er 0.60.


a) Regn ut akselerasjonen.

Bilen har konstant banefart, dermed kan vi bruke formelen

[tex] a \, = \, \frac{v^2}{r}[/tex]

[tex]a \, = \, \frac{23^2}{140}[/tex]

[tex]a \, \approx \, 3,77857[/tex]

[tex]\underline{\underline{\text{Akselerasjonen var ca 3.8 m/s^2}[/tex]


b) Hvor stor er friksjonskraften?

Eneste kraften som virker er friksjonskraften, dette gir oss:

[tex] \sum{F}\,=\,R \qquad \qquad \sum{F}\,=\,\frac{mv^2}{r}[/tex]

[tex] R \,=\,\frac{mv^2}{r}[/tex]

[tex] R \,=\,\frac{1100 \cdot 23^2}{140} \, = \, \frac{29095}{7}[/tex]

[tex] R \, \approx \,4156,4285714285714285714285714286\,N[/tex]

[tex]\underline{\underline{\text{Dermed er friksjonskraften ca 4.0kN[/tex]


c) Hvor stor er den maksimale farten bilen kan holde i vingen uten å miste veigrepet?

Vi kan også tenke oss at friksjonskrafta må balansere sentripetalakselerasjonen for at bilen skal holde seg i svingen

Dette gir oss likningen:

[tex]\sum\,F\,=\,R \qquad \qquad[/tex] og [tex]\qquad \qquad \sum\,F\,=\frac{mv^2}{r}[/tex]

Om summen av kreftene er større enn R, har ikke bilen nok krefter til å klare svingen.

[tex]R \, = \, \frac{mv^2}{r}[/tex]

[tex]\mu m g \, = \, \frac{mv^2}{r}[/tex]

[tex]v \, = \, \sqrt{\mu g r }[/tex]

[tex]v \, = \, \sqrt{ \, 0.60 \cdot 9.81 \cdot 140 \, } [/tex]

[tex]v \, \approx \, 28,70609691337364658971010400396[/tex]

[tex]\underline{\underline{\text{Den maksimale farten bilen kan ha uten aa miste svingen er ca 28,7 m/s^2 som er ca 103 km/h[/tex]


d) Dersom du kjørte på friksjonsfritt underlag i samme farten, hva måtte da doseringen være for at bilen skulle holde seg i svingen.

Om vi ser på kreftene som virker parallelt langs planet så har vi:

[tex]\sum\,F\,=G_x \qquad \qquad \sum{F}=\frac{mv^2}{r}[/tex]

Siden det ikke virker noen friksjonskrefter. Om bilen skal holde seg i svingen må [tex]G_x[/tex] være like stor som [tex]\frac{mv^2}{r}[/tex]

[tex]G_x \, = \, \frac{mv^2}{r} [/tex]

Løser denne med tanke på vinkelen

[tex]mg\,cos{\,\alpha} \, = \, \frac{mv^2}{r} [/tex]

[tex]\alpha \, = \, \arccos\(\frac{v^2}{rg}\) [/tex]

Putter inn de tallene vi vet

[tex]\alpha \, = \, \arccos \( \frac{23^2}{140\cdot9.81} \) [/tex]

[tex]\alpha \, = \, 67,345365485187324830753445287841[/tex]

[tex]\underline{\underline{\text{Om veien var friksjonsfri maa doseringen vaere paa 67 grader, for at bilen skal haalde seg i svingen}}[/tex]

(Noe som er helt urealistisk)

Tegning





Oppgave 3

En lekebil ruller oppover et skråplan med helningsvinkel 12 grader. Startfarten i bunnen av skråplanet er 2.5 m/s. Hvor langt oppover skråplanet kommer bilen?


[tex]\alpha\,=\,12^o \qquad v_0\,=\,2.5 \qquad v \, = \, 0 [/tex]
[tex]a \, = \, -g[/tex]

Først dekomponerer vi kreftene langs planet. Dette gjør vi for å finne akselerasjonen til legemet.

[tex]\sum F \, = \, G_x \qquad \qquad \sum{F}\,=\,ma[/tex]

[tex]ma \, = \,- G_x[/tex]

[tex]ma \, = \sin{\,\alpha}\,mg[/tex]

[tex]a \, =\,- \, \sin{\,\alpha}\,g[/tex]

Siden akselerasjonen er konstant kan vi bruke den tidløse formelen

[tex]v^2 - v_0^2\,=\,2as[/tex]

Løser med tanke på s og bruker at [tex]v=0[/tex] og at [tex]\, a \, = \, - \, \sin{\alpha}\,g[/tex]

[tex]s \, = \, \frac{v_0^2}{ \, 2 \cos{\alpha}\,g \, }[/tex]

[tex]s \, = \, \frac{ \, 2.5^2 \, }{2 \cdot \sin{12} \cdot 9.81} [/tex]

[tex]s \, = \, 1,5321528875968815927936215970766[/tex]

[tex]\underline{\underline{\text{Bilen kommer ca 1.5m oppover planet}}[/tex]

Tegning...



Oppgave 4

En jente sparker en fotball med utgangsfart 29 m/s. Utgangsvinkel er 50 grader. Vi ser bort fra luftmotstand.


a) Lag en vektorfunksjon som beskriver posisjonen til ballen for ethvert tidspunkt.

Først dekomponerer vi farten i x og y retning.

[tex]v_0_x \, = \, v \cdot \cos{a} \, = \, 29 \cdot \cos{50} [/tex]

[tex]v_0_y \, = \, v \cdot \sin{a} \, = \, 29 \cdot \sin{50}[/tex]

Bevegelsen i horisontal retning kan beskrives som en bue slik, dette kommer fra en av bevegelselikningene

[tex]s \, = \, v_0 \cdot t \, + \, \frac{1}{2}at^2[/tex]

Setter inn det vi vet, og at positiv retning er oppover får vi:

[tex]y \, = \, v_0_y \cdot t \, - \, \frac{1}{2}gt^2[/tex]

Det virker ingen krefter i vertikal retning, dermed kan bevegelsen beskrives slik.

[tex]x \, = \, v_0_x \, \cdot \, t [/tex]

Setter vi dette på parameterform, får vi:

[tex]\vec{ \, r(t) \, } \, = \, [ \, v_0_x \cdot \, t \, , \, v_0_y \cdot t \, - \, \frac{1}{2}gt^2 \, ][/tex]

Putter inn tallene våre:

[tex]\underline{\underline{\,\,\vec{ \, r(t) \, } \, = \, [ \, 29 \cdot \cos{50} \cdot \, t \, , \, 29 \cdot \sin{50} \cdot t \, - \, \frac{1}{2}gt^2 \, ]\,\,}}[/tex]


b) Finn farten i det høyeste punktet.

I toppunktet har ballen ingen fart i y-retningeningen, bare i x-retningen.
Dermed blir farten

[tex]\vec{\,v\,}\,=\,\sqrt{ \, \(v_0_x\)^2 + \(v_0_y\)^2 \, } \, =\,\sqrt{ \, \(v_0_x\)^2 + (0)^2 \, } \ \, = \, v_0_x[/tex]

[tex]\vec{\,v\,}\,=\, v \, \cdot cos{a}[/tex]

[tex]\vec{\,v\,}\,=\, 29 \, \ cdot cos{50}[/tex]

[tex]\vec{\,v\,} \, \approx \, 18,64084[/tex]

[tex]\underline{\underline{\text{Farten i toppunktet var ca 18.6 m/s}}}[/tex]


c) Hvor høyt kommer ballen?

Farten er den deriverte av strekningen. Kula har ingen fart i y-retningen i toppunktet.
Dermed kan vi løse [tex]y^{\tiny\prime}=0[/tex] for å finne ut tida det tar for ballen å nå sitt høyeste punkt.

[tex]y \, = \, v_0_y \cdot t \, - \, \frac{1}{2}gt^2[/tex]

Deriverer for å finne farten siden [tex]s^{\tiny\prime}(t)\,=\,v(t)[/tex]

[tex]0 \, = \, v_0_y \, - \, gt[/tex]

Løser med tanke på tida, for å finne ut hvor lang tid det tar før farta er null

[tex]t \, = \, \frac{v_0_y}{g} \, [/tex]

Putter inn denne verdien for t, inn i den opprinnelige likningen for å finne høyden.

[tex]y \, = \, v_0_y \cdot t \, - \, \frac{1}{2}gt^2[/tex]

[tex]y \, = \, v_0_y \cdot \( \frac{v_0_y}{g} \) \, - \, \frac{1}{2}g\( \frac{v_0_y}{g} \)^2[/tex]

[tex]y \, = \, \frac{1}{2}\frac{{v_0_y}^2}{g}[/tex]

[tex]y \, = \, \frac{1}{2}\frac{{\(29 \cdot sin{50}\)}^2}{9.81}[/tex]

[tex]y \, \approx \, 25,15387[/tex]

[tex]\underline{\underline{\text{Ballen kommer ca 25 meter opp i lufta[/tex]


d) Hva er farten når ballen treffer igjen bakken?

Siden eneste kraften vi regner som virker er tyngdekraften er sluttfarten den samme som startfarten.
Dette kan man se ved eventuelt energibevaring, siden begynnelsehøyden og slutthøyden er den samme.

[tex]\underline{\underline{\text{Dermed er farten naar ballen treffer bakken igjen 29m/s[/tex]


e) Hvor langt er det til nedslagspunktet målt langs bakken?

Farten, i x- og y-retningen kan bli beskrevet slik:

[tex] {v_{0x}} = \cos \left( a \right) \cdot v{\rm{ }} \wedge {\rm{ }}{v_{0y}} = \sin \left( a \right) \cdot v [/tex]

Strekningen i x- og y-retningen kan vi skrive slik:

[tex] y \,= \,{v_{0y}} \cdot t \,+\, \frac{1}{2}g{t^2}{\rm{ }} \wedge {\rm{ }}x \, = \, {v_{0x}} \cdot t [/tex]

Setter y=0 får å finne ut når ballen er null meter over utgangspunktet

[tex] 0 = {v_{0y}} \cdot t + \frac{1}{2}g{t^2} [/tex]

Løser mtp tida

[tex] t = 0{\rm{ }} \vee {\rm{ t}} = \frac{{2{v_{0y}}}}{g} [/tex]

Den horisontale avstanden kan vi skrive slik

[tex] x = {v_{0x}} \cdot t [/tex]

Setter inn verdien vi har fått for tida

[tex] x = {v_{0x}} \cdot \left( {\frac{{2{v_{0y}}}}{g}} \right) [/tex]

[tex] x = v \cdot \cos \left( a \right) \cdot \left( {\frac{{2 \cdot v \cdot \sin \left( a \right)}}{g}} \right) [/tex]

Bruker litt trigometri

[tex] x = \left( {\frac{{{v^2} \cdot \sin \left( {2a} \right)}}{g}} \right) [/tex]

[tex] x = \left( {\frac{{{{29}^2} \cdot \sin \left( {2 \cdot 50} \right)}}{g}} \right) [/tex]

[tex] x \approx 84,42643 [/tex]

[tex]\underline{\underline{\text{Avstanden fra utgangspunktet langs bakken til nedslagspunktet er ca 84 meter til nedslagspunktet }}[/tex]


f) Hvor stor fart har ballen etter 3.0 s og hvor er den da?

Setter opp formelen for strekningen i y-retningen

[tex] s = {v_{0y}} \cdot t - \frac{1}{2}g{t^2} [/tex]

Deriverer denne for å få et uttrykk for farten etter t sekunder

[tex] s^{\tiny\prime} = v = {v_{0y}} - gt [/tex]

Setter opp absoluttverdien til farten

[tex] \vec {{\rm{ }}v{\rm{ }}} = \sqrt {{{\left( {{v_{0x}}} \right)}^2} + {{\left( {{v_{0y}}} \right)}^2}} [/tex]

Skriver inn det vi vet, og husker at farten i x-retningen er konstant.

[tex] \vec {{\rm{ }}v{\rm{ }}} = \sqrt {{{\left( {v \cdot \cos \left( a \right)} \right)}^2} + {{\left( {v \cdot \sin \left( a \right) - gt} \right)}^2}} [/tex]

[tex] \vec {{\rm{ }}v{\rm{ }}} = \sqrt {{{\left( {29 \cdot \cos \left( {50} \right)} \right)}^2} + {{\left( {29 \cdot \sin \left( {50} \right) - 9.81 \cdot 3} \right)}^2}} [/tex]

[tex] \vec {{\rm{ }}v{\rm{ }}} = 19,98832 [/tex]

[tex] \underline{\underline{\text{Farten etter 3 sekunder er ca 20m/s} }}[/tex]

For posisjonen bruker vi det vi fant ut i oppgave a)

[tex]\vec{r(t)} \, = \, [ \, 29 \cdot \cos{50} \cdot \, t \, , \, 29 \cdot \sin{50} \cdot t \, - \, \frac{1}{2}gt^2 \, ][/tex]

[tex]\vec{r(t)} \, = \, [ \, 29 \cdot \cos{50} \cdot \, 3 \, , \, 29 \cdot \sin{50} \cdot 3 \, - \, \frac{1}{2}g 3^2 \, ][/tex]

[tex]\vec{r(t)} \, \approx \, [ (55.88395, 22.4549)][/tex]

[tex]\underline{\underline{\text{Etter 3 sekunder befinner ballen seg ca i punktet P(55.9 , 22.5)[/tex]

Noe som er 22,4 meter over bakken, og har avstanden 60meter til origo.

[Nebuchadnezzar]

Bumper denne litt jeg

Ser svarene mine på 2 c og 2 d riktige ut ?
Og hvorfor kan man ikke bruke at

[tex]R \, = \, \mu N [/tex]

på oppgave 2 b?

Og ser resten riktig ut ? Lurer ikke så mye på svarene men mer, forklaringene mine, tegningene og fremgangsmåten. =)

[kimjonas]

Jeg regnet litt på det, og jeg fikk:

2c
[tex]m=1100kg[/tex]
[tex]r=140m[/tex]
[tex]v=23m/s[/tex]
[tex]\mu=\frac{R}{N}=0.60[/tex]

Om den skal holde seg i banen må kreftene som virker innover være like stor som friksjonskraften

[tex]R=\mu*N[/tex]
[tex]R=\mu*m*g[/tex]

[tex]u*m*g = m*a[/tex]

[tex]a=\mu*g=0.60*9.81=5.886m/s^2[/tex]

[tex]\frac{v^2}{r}=a[/tex]
[tex]v=\sqrt{a*r}=\sqrt{5.886*140} = 28.71 m/s[/tex]

kanskje?

[Realist1]

[tex]\underline{\underline{\text{Akselerasjonen var ca 3.78 m/s^2 som er ca 13 km/h}}[/tex]

??

[Nebuchadnezzar]