I denne oppgaven er jeg egentlig med på nesten hele utregningen, men det er bare en liten del av fremgangsmåten jeg er litt usikker på (full løsning på oppgaven er i tekstboken).
Oppgaven lyder:
Finn [symbol:integral] [symbol:integral] ([tex]x^2+y^2[/tex])dA over området i første kvadrat innenfor kurvene [tex]y=0[/tex], [tex]y=x[/tex], [tex]xy=1[/tex] og [tex]x^2-y^2=1[/tex]
Her foreslås det at man bruker variablene [tex]u=x^2-y^2[/tex] og [tex]v=xy[/tex].
Videre står det at vi med denne transformasjonen får, i det nye koordinatsystemet, en firkant innenfor[tex]u=0[/tex], [tex]u=1[/tex] og [tex]v=0[/tex], [tex]v=1[/tex].
Resten av utregningen forstår jeg fullt ut. Det jeg imidlertid er litt usikker på er hvordan man her finner hvilke verdier [tex]u[/tex] er gyldig for i det nye koordinatsystemet.
Selvsagt ser jeg at ved å sette [tex]u=x^2-y^2[/tex] vil vi automatisk få [tex]u=1[/tex]. Men hvor får vi at [tex]u[/tex] er gyldig fra 0 til 1? Har jeg forstått det rett ved å ta utganspunkt i at vi i det opprinnelige koordinatsystemet også har en kurve [tex]x=y[/tex] som avgrenser området, og dersom vi kvadrerer begge sider her får vi:
[tex]x^2=y^2[/tex]
Som så gir oss:
[tex]x^2-y^2=0[/tex].
Dermed ser vi at [tex]u[/tex] er i intervallet [0, 1].
Kan noen vennligst bekrefte om dette er riktig resonnert? Det ville jeg satt stor pris på!
Dobbelt integral - change of variable
Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Hvis du ser på hvilke kurver integrasjonsområdet i uv-koordinatsystemet er begrenset av ser man at kurven [tex]y=0[/tex] svarer til [tex]v=0[/tex], [tex]y=x[/tex] svarer til [tex]u=0[/tex], [tex]xy=1[/tex] svarer til [tex]v=1[/tex] og [tex]x^2-y^2=1[/tex] svarer til [tex]u=1[/tex]
