Newtons metode oppgave som krever triks..

[Espresso]

f(x)=e^x-3

Her skal jeg altså tilnærme ln3 ved å tilnærme nullpunktet til f(x) v.h.a Newtons metode.

Allerede etter første derivasjon vil jeg jo få en konstant..

Noen som har peiling på hvordan jeg kan tilnærme meg problemet?

Espresso

[Nebuchadnezzar]

Newtons tilnærmingsmåte er jo gitt som dette.

[tex]g(n)\,=\,n\,-\,\frac{f(n)}{f^{\tiny\prime}(n)}[/tex]

Nå bare "tipper" man et tall som man tror kan ligge nærme nullpunktet.
Tegner man funksjonen er det lett å se hva man kan prøve å tippe. Her tipper jeg at nullpunktet er når x=1

I vårt tilfelle blir [tex]g(n)\,=\,n\,-\,\frac{exp{n}-3}{exp{n}}[/tex]

[tex]g(1)\,=\,1\,-\,\frac{{exp}-3}{exp}\,\approx\,1.1036[/tex]

Nå putter vi bare inn 1.1036 inn i g(n) og får et svar. Dette svaret putter vi inn i g(n) igjen. Også fortsetter vi denne prossesen til vi har fått et tilfredstillende antall riktige desimaler.

[FredrikM]

Newtons metode er gitt ved
[tex]x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f^\prime(x_n)}=x_n-\frac{e^x_n-3}{e^x_n}[/tex]

Bare velg en verdi for [tex]x_0[/tex] og regn ut [tex]x_1[/tex] osv.

[Espresso]

Newtons tilnærmingsmåte er jo gitt som dette.

[tex]g(n)\,=\,n\,-\,\frac{f(n)}{f^{\tiny\prime}(n)}[/tex]

Nå bare "tipper" man et tall som man tror kan ligge nærme nullpunktet.
Tegner man funksjonen er det lett å se hva man kan prøve å tippe. Her tipper jeg at nullpunktet er når x=1

I vårt tilfelle blir [tex]g(n)\,=\,n\,-\,\frac{exp{n}-3}{exp{n}}[/tex]

[tex]g(1)\,=\,1\,-\,\frac{{exp}-3}{exp}\,\approx\,1.1036[/tex]

Nå putter vi bare inn 1.1036 inn i g(n) og får et svar. Dette svaret putter vi inn i g(n) igjen. Også fortsetter vi denne prossesen til vi har fått et tilfredstillende antall riktige desimaler.

Jo, men problemet er at uansett hvilken x-verdi man putter inn vil det etter en derivasjon bli en konstant i nevner, som derivert blir 0..

[Espresso]

Newtons tilnærmingsmåte er jo gitt som dette.

[tex]g(n)\,=\,n\,-\,\frac{f(n)}{f^{\tiny\prime}(n)}[/tex]

Nå bare "tipper" man et tall som man tror kan ligge nærme nullpunktet.
Tegner man funksjonen er det lett å se hva man kan prøve å tippe. Her tipper jeg at nullpunktet er når x=1

I vårt tilfelle blir [tex]g(n)\,=\,n\,-\,\frac{exp{n}-3}{exp{n}}[/tex]

[tex]g(1)\,=\,1\,-\,\frac{{exp}-3}{exp}\,\approx\,1.1036[/tex]

Nå putter vi bare inn 1.1036 inn i g(n) og får et svar. Dette svaret putter vi inn i g(n) igjen. Også fortsetter vi denne prossesen til vi har fått et tilfredstillende antall riktige desimaler.

Jo, men problemet er at uansett hvilken x-verdi man putter inn vil det etter en derivasjon bli en konstant i nevner, som derivert blir 0..

Eller, man skal ikke fortsette å derivere i det uendelige, men sette inn x-verdien for hver gang, da burde det jo gå greit.

Får ta en titt på hvordan Newton kom frem til dette, samt få L`Hopital ut av hodet:-)

[Espresso]

Glimrende, takk for hjelpa.

Utrolig hvor fort den nådde nullpunktet. Utrolig hvordan Newton klarte å komme opp med denne metoden, nå gjenstår det å finne ut i hvilke tilfeller den kan slå feil, noe den visstnok kan. Uansett imponert!

Nyt dagen

[Nebuchadnezzar]

Viktige å huske på er at den første tilnærmingen bør være nærme. Om man prøver seg på for eksempel 100, i denne oppgaven så tar det mange tilnærminger før man treffer =)