L'Hopitals regel oppgave

[tandberg]

Har ei oppgave som skal løses med L'Hopitals regel her, men skjønner ikke helt hvordan jeg skal komme frem til fasitsvar.

Starter med oppgaven:

[tex]\displaystyle\lim_{x\to\0} \ \ \frac{1-cos x}{ln(1+x^2)} [/tex]

Deriverer både over og under brøkstreken og får:

[tex]\displaystyle\lim_{x\to\0} \ \ \frac{sin x}{\frac{2x}{x^2+1}} [/tex]

Så setter jeg inn for 0 og får at grensen er 0, men fasitsvar er [tex]\frac{1}{2}[/tex]. Noen som vet hvordan jeg kan komme frem til dette?

Takk

[Janhaa]

deriver siste brøken videre,så kommer du i mål...

[bartleif]

Bruk l'Hôpitals enda en gang (siden det du har egentlig er et null-over-null-uttrykk), og se hvor det fører deg hen

Husk å ordne uttrykket.

Altså: [tex]\lim_{x\rightarrow 0}\frac{(x^2+1)\sin x}{2x}[/tex],

Prøv med dette!

[tandberg]

se der ja, takk

[Vektormannen]

Bare som en sidenote kan den grensen der evalueres uten å benytte L'Hopital en gang til, for [tex]\lim_{x \to 0} \ \frac{(x^2+1) \sin x}{2x} = \frac{1}{2} \cdot \lim_{x \to 0} \ (x^2+1) \cdot \lim_{x \to 0} \ \frac{\sin x}{x} = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 = \frac{1}{2}[/tex].

Det blir vel i grunn litt feil å bruke L'Hopital på denne, siden man i den prosessen implisitt bruker L'Hopital på uttrykket [tex]\frac{\sin x}{x}[/tex], og nettopp denne grenseverdien inngår i selve definisjonen av den deriverte av sin x.

[tandberg]

Det funker også ser det ut til. flotters
men ei ny oppgave som jeg lurer litt på:

[tex]\displaystyle\lim_{x\to\1^+} \ \ \frac{x}{x-1} - \frac{1}{ln x} [/tex]

Har trukket sammen på samme brøkstrek og fått:

[tex]\displaystyle\lim_{x\to\1^+} \ \ \frac{x ln x - x + 1}{(x-1) ln x} [/tex]

Har brukt L'Hopitals regel og fått

[tex]\displaystyle\lim_{x\to\1^+} \ \ \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{x} - \frac{1}{x^2}} [/tex]

Er dette riktig da? Svaret skal bli [tex]\frac{1}{2}[/tex] her og

[Vektormannen]

Ser nok ut som du har gjort en eller annen fortegnsfeil et sted. Du bør ende opp med nesten samme uttrykk, bare med + mellom leddene i nevneren.