Definisjon av den naturlige logaritme

[crestrup]

delete

[Vektormannen]

Begynn med [tex]\ln\left(\frac{a}{b}\right)[/tex]. Kan du uttrykke a og b ved hjelp av definisjonen av ln, altså ved hjelp av e og ln?

[crestrup]

delete

[Vektormannen]

Nei, jeg tenker på a og b i brøken i uttrykket [tex]\ln\left(\frac{a}{b}\right)[/tex]. Er du enig i at du kan skrive a som [tex]e^{\ln a}[/tex], og b på samme måte? Kan du da benytte noen potensregler på den nye brøken du får?

[crestrup]

delete

[Vektormannen]

Ja, du ender opp med det inni parentesen. Så da har du kommet frem til at [tex]\ln\left(\frac{a}{b}\right) = \ln\left(\frac{e^{\ln a}}{e^{\ln b}}\right) = \ln (e^{\ln a - \ln b})[/tex]. Hva får du når du tar ln av e opphøyd i noe?

[crestrup]

delete

[Vektormannen]

Flott

Denne likheten kan også bevises ved å gå andre veien, altså ved at du begynner med [tex]\ln a - \ln b[/tex] og ser om du kan komme deg til [tex]\ln\left(\frac{a}{b}\right)[/tex]. Det kan du jo prøve deg på, kanskje du syns det virker mer logisk.