Tellbar, disjunkt lukket overdekning av R

[Karl_Erik]

Finnes det en tellbar mengde disjunkte lukkede intervaller $I_1,I_2,\dots$ slik at $\bigcup _{i\in \mathbb{N}}{I}_i=\mathbb{R}$?

EDIT: Et intervall betyr her kun begrensede intervaller - R selv regnes ikke som et lukket intervall.

[TrulsBR]

Med mindre jeg misforstår spørsmålet:
Se på "Formal definition 2" på følgende Wikipedia-side.
http://en.wikipedia.org/wiki/Connected_space

[Karl_Erik]

Det viser at en sammenkoplet mengde ikke kan partisjoneres i to lukkede disjunkte mengder, men ikke at den ikke kan partisjoneres i tellbart mange lukkede intervaller. Det er mulig det første impliserer det andre, men du må kanskje jobbe litt for å bevise det.

[Charlatan]

Jeg bruker et par teoremer i boken "Topology" av Munkres, så jeg legger til referanser der det passer seg.

Anta at en slik dekning eksisterer. La $L=\{I_n|n\in \mathbb{N}\}$. En definisjon: $[a,b]<[c,d]\iff b<c$. Gi L ordningstopologien generert av denne ordningen. Dersom $I,J\in L$ og [a,b]=I<J=[c,d], finnes det en $x\in \mathbb{R}$ slik at b<x<c. x ligger i et intervall K i L, så I<K<J. Velg et intervall $I^{\prime }<I$, og et intervall $J^{\prime }>J$. Da er $I\in (I^{\prime },K),J\in (K,J^{\prime })$, og $(I^{\prime },K)\cap (K,J^{\prime })=\mathrm{\varnothing }$, så L er hausdorff.

La $(I_i{)}_{i\in R}$ være en mengde intervaller i L begrenset oppad av I. La $x=\underset{i}{sup}sup{I}_i$. Nå er $x\in J$ for et unikt intervall J. Hvis $J<I_i$ for en i, så er $x<sup{I}_i$ som er umulig, så J er en øvre grense. Hvis K<J er en øvre grense, er $x>supK>sup{I}_i$ for alle i som er umulig. Dermed er J en minste øvre grense for mengden. Altså har L minste øvre grense-egenskapen. Det betyr at ethvert intervall [I,J] er kompakt (ref. Teorem 27.1).

Velg I<J. [I,J] er kompakt og hausdorff som underrom av L. La $K\in [I,J]$. Hvis et basiselement $(I^{\prime },J^{\prime })\subseteq \{K\}$, kan vi finne $K^{\prime }$ i intervallet slik at $I^{\prime }<K^{\prime }<K$, som er umulig. Altså er ettpunktsmengder aldri åpne i [I,J]. Det følger at [I,J] er utellbart, som medfører at L også er det (ref. Teorem 27.7). Dette er en motsigelse ettersom dekningen er tellbar.

[Charlatan]

Oppfølger (enklere): Finnes det en disjunkt tellbar dekning av $\mathbb{R}$ av åpne begrensede intervaller?

[Karl_Erik]

Veldig fin og kreativ løsning. Svaret på oppfølgeren er nei: Anta det motsatte og la $(a,b)$ være et intervall i overdekningen. Da er $b$ inneholdt i et annet intervall i overdekningen. Siden dette er åpent finnes en positiv epsilon slik at $(b-ϵ,b+ϵ)$ er inneholdt i mengden. Men samme hvor liten epsilon er skjærer denne (a,b), så intervallene er ikke disjunkte og en motsigelse.

[Charlatan]

Stemmer det. Vil forresten gjerne se en alternativ løsning på din oppgave, vil du legge din ut? På den sistnevnte kan man alternativt (ved å utnytte noe mer topologisk maskineri enn nødvendig) merke seg at en slik dekning er en separasjon av $\mathbb{R}$ ved å betrakte et åpent intervall i dekningen og unionen av resten, men det er jo umulig.

[Charlatan]

Det er forøvrig en fin oppfølger her allerede: Kan et sammenkoblet rom ha en tellbar disjunkt overdekning av lukkede mengder?

EDIT: Dekningen må være av minst 2 elementer.

[Karl_Erik]

Anta det motsatte, og la $\{I_i=[a_i,b_i]\}$ være mengden intervaller. Lar vi $E=\{a_i,b_i\}$ være mengden endepunkter er komplementet i R en union av åpne intervaller, så E er lukket. Dessuten er ethvert punkt i E et grensepunkt, da vi for $a_i\in E$ enten har at det finnes $b_k\in E$ vilkårlig nær $a_i$, eller så finnes en $ϵ$ slik at $(a_i-ϵ,a_i)$ikke inneholder noe element av E, og en motsigelse.

Siden E er tellbar kan vi ordne elementene dens som en følge $\{c_1,c_2,\dots \}$. Velg et lukket intervall $J_1=[x_1-ϵ,x_2+ϵ]$ der $x_1\in E$, og slik at $J_1$ ikke inneholder $c_2$. Siden ethvert punkt i $E$ er et grensepunkt inneholder $J_1$ uendelig mange elementer fra $E$, så velg et nytt intervall $J_2=[x_2-ϵ,x_2+ϵ]$ som ikke inneholder $c_2$.

Fortsetter vi slik genererer vi en uendelig følge intervaller $J_1\supset J_2\supset \dots$ slik at $J_i$ ikke inneholder $c_1,\dots ,c_i$. Ser vi på \midtpunktene deres $x_i$ danner dette opplagt en konvergent følge, som konvergerer til et punkt $x$ som ligger i snittet av alle $J_i$. Siden E er lukket må $x\in E$, men snittet av $J_i$ er per konstruksjon forskjellig fra ethvert element i E, så $x\notin E$, og vi har en motsigelse.

Det ble litt mer omstendelig enn jeg hadde trodd - i hodet mitt hadde jeg et mye kortere bevis for at en lukket undermengde av R der ethvert element var et grensepunkt var utellbar, men det viste seg å være delvis feil, så det gikk litt fort og gæli men ble forhåpentligvis riktig nå.

[Gustav]

Mulig jeg overser noe eller at dette er flisespikkeri, men er det så opplagt at følgen konvergerer?

Forslag til argument:

Konstruer en Cauchyfølge $x_i$. Siden E er et lukket underrom av et komplett rom, så er E komplett, og da vil alle Cauchy-følger konvergere mot et element i E.

Så hvis man definerer følgen $(x_i)$ som sentrene i intervaller $J_i=[x_i-e_i,x_i+e_i]$ slik at $J_1$ ikke inneholder $c_1$, $x_2$ er i $J_1$, og $J_2$ hverken inneholder $c_2$ eller $x_1$ etc. Da vil radien $e_2$ være mindre enn $\frac{e_1}{2}$, $e_3$ mindre enn $\frac{e_2}{2}$ osv. slik at radiene går mot 0. Da vil følgen opplagt være Cauchy og dermed konvergere mot et element x i E som ligger i snittet ${\cap }_i{J}_i$.

[Charlatan]

Ja, det ser riktig ut det plutarco; å tvinge radien til intervallene å konvergere mot 0 medfører at følgen din konvergerer. Jeg kan tenke meg at dersom følgen Karl Erik har dannet ikke konvergerer så vil man kunne utføre samme argument ved å betrakte en konvergent delfølge av den; i og med at hvis J_n ikke inneholder c_n, så inneholder ikke J_m for m > n c_n heller.


I oppfølgeren må det forresten selvsagt være minst 2 lukkede underrom i dekningen. Hvis ikke kunne man ha brukt at X selv er lukket og dermed en tellbar dekning av seg selv.

[Karl_Erik]

I hodet mitt virket det opplagt at følgen ble Cauchy, men du har selvfølgelig helt rett, det bør jo bevises.

[Charlatan]

Oppdatering: det viser seg å finnes ganske enkle eksempler på både tellbare og utellbare sammenkoblede rom slik at de har en lukket og tellbar overdekning: Z hvor de åpne mengdene er de som har et endelig komplement, og unionen X av et tellbart antall disjunkte åpne intervaller i R slik at de åpne mengdene er unionen av alle intervaller utenom et endelig antall. I førstnevnte tilfelle er ettpunktsmengder lukkede og danner en disjunkt lukket tellbar union av Z, og i sistnevnte er hvert enkelt intervall lukket og danner en tellbar lukket disjunkt union av X.

Men finnes det en tellbar disjunkt overdekning av generelle lukkede mengder i R (i ordningstopologien) av R?