Derivasjon, kjerneregel eller produktregel

[Piraya for matte]

Er det kjerneregel eller produktregel (eller begge) som skal nyttast her:

Produktregel:

[tex]y=x^5 ln(2x)= 5x^4(ln(2x))+(x^5)(\frac{1}{2x})[/tex]



[tex]y=cos^5(3x^2+1) = ((5)(-sin^4))(3x^2+1)+(cos^5)(6x)[/tex]

Derivert av cos^5= (5)(-sin^4)? Ser merkelig ut.

[claudius]

I det første tilfellet må du benytte både kjerne- og produktregel. Resultatet ditt er ikke helt riktig.
Det neste eksempelet er fundamentalt feil. Her er det kjerneregelen som gjelder.

[Piraya for matte]

[tex]y=x^5 ln(2x)= 5x^4(ln(2x))+(x^5)(\frac{1}{2x} (2x))[/tex]

[tex]=5x^4(ln(2x))+x^5(\frac{1}{x})[/tex]

Betre? Leste i ein annan tråd at man skal gange med kjernen, som her blir 2x.




[tex]y=cos^5(3x^2+1)[/tex]

kjernen u(x)=3x^2+1
kjernefunksjonen h(u)=cos^5

f`(x)=h`(u)*(u`(x))

[tex]f`(x)=(5(-sin^4))(6x)[/tex]

[claudius]

Vel--? Eg trur vel snarare at det fyrste har blitt verre!
Det er ikkje kjernen men den deriverte av kjernen du skal multiplisere med.
Kjerneregelen:
[tex]\frac{df(u(x))}{dx} = \frac{df}{du}\cdot \frac{du}{dx}[/tex]
Eksempel:
[tex] \frac{sin(\mathrm{ln} x)}{dx} = \frac{1}{x} cos (\mathrm{ln} x) \\ \frac{sin^3(\mathrm{ln} x)}{dx} = \frac{3}{x} sin^2 (\mathrm{ln} x) cos(\mathrm{ln} x)[/tex]
I det siste eksempelet må kjerneregelen nyttast to gonger.
Det siste eksempelet ditt byrjar å betre seg.

[Piraya for matte]

Javel, derivert av 2x er jo 2:

[tex]y=x^5 ln(2x)= 5x^4(ln(2x))+(x^5)(\frac{1}{2x} (2))[/tex]

[tex]=5x^4(ln(2x))+x^5(\frac{1}{x})[/tex]
Er denne linja feil? Må ein gange saman x^5 med 1 over x?




f`(x)=h`(u)*(u`(x))

[tex]f`(x)=(5(-sin^4))(6x)[/tex]

[tex] f`(x)=(-cos^4)(6)[/tex] Slik?

*Newton og Leibniz snur seg i grava*

[claudius]

Når eg ser etter var svaret du hadde rett, men melloregninga var feil.

Nå er det rett når du får med derivasjonssymbol i starten! Det ser betre ut om du multipliserer saman som du er inne på.

[tex]y = cos^5(3x^2 + 1) \\ y^\prime = 6x \cdot 5 cos^4(3x^2 + 1)(-sin(3x^2 + 1) = \\ -30x cos^4(3x^2 + 1) \cdot sin(3x^2 + 1) [/tex]

[Piraya for matte]

Når eg ser etter var svaret du hadde rett, men melloregninga var feil.

Nå er det rett når du får med derivasjonssymbol i starten! Det ser betre ut om du multipliserer saman som du er inne på.

[tex]y = cos^5(3x^2 + 1) \\ y^\prime = 6x \cdot 5 cos^4(3x^2 + 1)(-sin(3x^2 + 1) = \\ -30x cos^4(3x^2 + 1) \cdot sin(3x^2 + 1) [/tex]

Forstår ikkje heilt utrekninga di. Blir ikkje cos^5 derivert til 5(-sin^4)? Eller misforstår eg heilt.

[claudius]

Du misforstår nok. Du må nytte kjerneregelen!
[tex]y(x) = y(u(v(x))) \\ v(x) = 3x^2 + 1 \\ u(v) = cos v = cos(3x^2 +1) \\ y(u) = u^5 = cos^5(3x^2 +1)[/tex]

Kjerneregelen:
[tex] \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dv} \cdot \frac{dv}{dx} = 5u^4 \cdot (-sin v) \cdot 2x[/tex]

Du får svaret ved å sette inn for u og v.