Differensialligninger...

[kennetm]

Har problemer med noen her... Gir snart opp :(

y'=2xy

y'e^y = 2x 

(x^2 + 1)y' + 2xy^2 = o


Noen som kan hjelpe meg med disse? Trenger en skikkelig utregning. Får da muligens en bedre forståelse av det hele - håper jeg!
Noen som kan hjelpe?

[Dinithion]

Vel, på den første så kan man strengt tatt gjette på en løsning, men det er kanskje ikke så behjelpelig.

Generelt, så kan diff. likninger, når det ikke er pluss og minus, oftest løses ved å få y på den ene siden av erlik, og x på den andre., så om du skriver om y' til kvotienten dy/dx, så får du utrykket

[tex]\frac{1}{y}\frac{dy}{dx} =2x \Rightarrow \frac{1}{y} dy = 2x dx[/tex]

Ved å integrere begge sider kommer du fram til svaret. Prøv å se om du ikke får til de to første nå.

[Vektormannen]

Disse er alle såkalte separable differensialligninger. Det første du må gjøre er å få separert ligningen slik at du har alt med x på én side og alt med y på den andre siden. Husk at det du vil frem til er å få et uttrykk for funksjonen y der x er variabelen.

Vi kan se på den første ligningen. Hvis du deler på begge sider med y her, så får du

[tex]\frac{y^\prime}{y} = 2x[/tex]

Nå har vi fått separert ligningen. Nå har vi y' og y på venstre side. Men vi ønsker et uttrykk med kun y. For å få dette må vi skrive den deriverte av y på en annen form. En alternativ skrivemåte for den deriverte av en funksjon med hensyn på x, [tex]f^\prime(x)[/tex] er [tex]\frac{\text{d}f}{\text{d}x}[/tex]. Da får vi her:

[tex]\frac{\text{d}y}{\text{d}x} \cdot \frac{1}{y} = 2x[/tex]

Hvis vi nå ganger med [tex]\text{d}x[/tex] på begge sider (dette er matematisk sett ikke helt lov, men det fungerer og vi gjør det likevel...) får vi:

[tex]\frac{1}{y} \text{d}y = 2x \text{d}x[/tex]

Kan du tenke deg hva neste steg er nå? Se på hvordan hver side i ligningen ser ut. Vi har et uttrykk med y og dy, og vi har et uttrykk med x og dx. Ringer det noen bjeller?

edit: ... for sein