Oppgave 17.
La n være et naturlig tall og anta at f og g er n ganger deriverbare.Vis at:
[tex]D^{n}[f(x)g(x)]=\sum_{k=0}^{n} {n \choose k} D^{(n-k)}f(x)D^{(k)}g(x)[/tex]
der [tex]\: D^{(n)}h \:[/tex] betegner den n-te deriverte til funksjonen h.
[tex]h(x)=e^xsinx[/tex]
Kan noen vise det nøyaktig hvordan hele visningen blir?
Naturlig tall
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
-
- von Neumann
- Innlegg: 525
- Registrert: 03/10-2010 00:32
Sist redigert av Integralen den 10/11-2010 15:26, redigert 3 ganger totalt.
Ultimate Mathematics
http://www.youtube.com/watch?v=Qjtetxrvu18
http://www.youtube.com/watch?v=Qjtetxrvu18
Du kan bruke induksjon for å vise dette.
Formelen gjelder via produktregelen for n=1.
Anta at formelen stemmer for n.
Da følger at
[tex]D^{n+1}(fg)=D\sum_{k=0}^n {n\choose k} (D^{n-k}f)(D^k g)[/tex]
Siden derivasjonsoperatoren D er lineær er dette:
[tex]D\sum_{k=0}^n {n\choose k} (D^{n-k}f)(D^k g)=\sum_{k=0}^n {n\choose k}D( (D^{n-k}f)(D^k g))[/tex]
Vi bruker igjen produktregelen og får
[tex]\sum_{k=0}^n {n\choose k}D( (D^{n-k}f)(D^k g))=\sum_{k=0}^n {n\choose k}\left ((D^{n-k+1}f)(D^k g)+(D^{n-k}f)(D^{k+1} g)\right )[/tex]
Bruker vi at
[tex]\frac{n+1}{k+1}{n\choose k}={n+1\choose k+1}[/tex]
blir
[tex]{n\choose k}={n+1\choose k+1}\frac{k+1}{n+1}=\frac{(n+1)!}{(k+1)!(n-k)!}\frac{k+1}{n+1}=\frac{(n+1)!}{k!(n+1-k)!}\frac{n+1-k}{n+1}={n+1\choose k}\frac{n+1-k}{n+1}[/tex]
Ser vi på det siste leddet i summen et par hakk over kan vi omskrive:
La k+1=m. Da går summen over m fra m=1 til n+1
[tex]\sum_{k=0}^n {n\choose k}(D^{n-k}f)(D^{k+1} g)=\sum_{m=1}^{n+1} {n+1\choose m-1}\frac{n+1-m+1}{n+1}(D^{n-m+1}f)(D^{m} g)[/tex]
Vi har at
[tex]{n+1\choose m-1}=\frac{m}{n-m+2}{n+1\choose m}[/tex] så vi skriver summen over som
[tex]\sum_{m=1}^{n+1} {n+1\choose m}\frac{m}{n+1}(D^{n-m+1}f)(D^{m} g)=\sum_{m=0}^{n+1} {n+1\choose m}\frac{m}{n+1}(D^{n-m+1}f)(D^{m} g)[/tex]
,hvor vi i den siste likheten bare har addert et ledd som er lik 0.
Til slutt har vi at
[tex]\sum_{k=0}^n {n\choose k}(D^{n-k+1}f)(D^k g)=\sum_{k=0}^n {n+1\choose k}\frac{n+1-k}{n+1}(D^{n-k+1}f)(D^k g)=\sum_{k=0}^{n+1} {n+1\choose k}\frac{n+1-k}{n+1}(D^{n-k+1}f)(D^k g)[/tex]
,hvor vi igjen kun har addert et ledd som er 0.
Tilslutt adderer vi og får
[tex]D^{n+1}(fg)=\sum_{k=0}^{n+1} {n+1\choose k}\frac{n+1-k}{n+1}(D^{n-k+1}f)(D^k g)+\sum_{m=0}^{n+1} {n+1\choose m}\frac{m}{n+1}(D^{n-m+1}f)(D^{m} g)=\\ \sum_{k=0}^{n+1} {n+1\choose k}\frac{n+1-k}{n+1}(D^{n-k+1}f)(D^k g)+\sum_{k=0}^{n+1} {n+1\choose k}\frac{k}{n+1}(D^{n-k+1}f)(D^{k} g)=\sum_{k=0}^{n+1} {n+1\choose k}(\frac{n+1-k}{n+1}+\frac{k}{n+1})(D^{n-k+1}f)(D^k g)\\=\sum_{k=0}^{n+1} {n+1\choose k}(D^{n-k+1}f)(D^k g)[/tex]
Nå har jeg på følelsen at denne utregninga kunne vært gjort enklere...
Formelen gjelder via produktregelen for n=1.
Anta at formelen stemmer for n.
Da følger at
[tex]D^{n+1}(fg)=D\sum_{k=0}^n {n\choose k} (D^{n-k}f)(D^k g)[/tex]
Siden derivasjonsoperatoren D er lineær er dette:
[tex]D\sum_{k=0}^n {n\choose k} (D^{n-k}f)(D^k g)=\sum_{k=0}^n {n\choose k}D( (D^{n-k}f)(D^k g))[/tex]
Vi bruker igjen produktregelen og får
[tex]\sum_{k=0}^n {n\choose k}D( (D^{n-k}f)(D^k g))=\sum_{k=0}^n {n\choose k}\left ((D^{n-k+1}f)(D^k g)+(D^{n-k}f)(D^{k+1} g)\right )[/tex]
Bruker vi at
[tex]\frac{n+1}{k+1}{n\choose k}={n+1\choose k+1}[/tex]
blir
[tex]{n\choose k}={n+1\choose k+1}\frac{k+1}{n+1}=\frac{(n+1)!}{(k+1)!(n-k)!}\frac{k+1}{n+1}=\frac{(n+1)!}{k!(n+1-k)!}\frac{n+1-k}{n+1}={n+1\choose k}\frac{n+1-k}{n+1}[/tex]
Ser vi på det siste leddet i summen et par hakk over kan vi omskrive:
La k+1=m. Da går summen over m fra m=1 til n+1
[tex]\sum_{k=0}^n {n\choose k}(D^{n-k}f)(D^{k+1} g)=\sum_{m=1}^{n+1} {n+1\choose m-1}\frac{n+1-m+1}{n+1}(D^{n-m+1}f)(D^{m} g)[/tex]
Vi har at
[tex]{n+1\choose m-1}=\frac{m}{n-m+2}{n+1\choose m}[/tex] så vi skriver summen over som
[tex]\sum_{m=1}^{n+1} {n+1\choose m}\frac{m}{n+1}(D^{n-m+1}f)(D^{m} g)=\sum_{m=0}^{n+1} {n+1\choose m}\frac{m}{n+1}(D^{n-m+1}f)(D^{m} g)[/tex]
,hvor vi i den siste likheten bare har addert et ledd som er lik 0.
Til slutt har vi at
[tex]\sum_{k=0}^n {n\choose k}(D^{n-k+1}f)(D^k g)=\sum_{k=0}^n {n+1\choose k}\frac{n+1-k}{n+1}(D^{n-k+1}f)(D^k g)=\sum_{k=0}^{n+1} {n+1\choose k}\frac{n+1-k}{n+1}(D^{n-k+1}f)(D^k g)[/tex]
,hvor vi igjen kun har addert et ledd som er 0.
Tilslutt adderer vi og får
[tex]D^{n+1}(fg)=\sum_{k=0}^{n+1} {n+1\choose k}\frac{n+1-k}{n+1}(D^{n-k+1}f)(D^k g)+\sum_{m=0}^{n+1} {n+1\choose m}\frac{m}{n+1}(D^{n-m+1}f)(D^{m} g)=\\ \sum_{k=0}^{n+1} {n+1\choose k}\frac{n+1-k}{n+1}(D^{n-k+1}f)(D^k g)+\sum_{k=0}^{n+1} {n+1\choose k}\frac{k}{n+1}(D^{n-k+1}f)(D^{k} g)=\sum_{k=0}^{n+1} {n+1\choose k}(\frac{n+1-k}{n+1}+\frac{k}{n+1})(D^{n-k+1}f)(D^k g)\\=\sum_{k=0}^{n+1} {n+1\choose k}(D^{n-k+1}f)(D^k g)[/tex]
Nå har jeg på følelsen at denne utregninga kunne vært gjort enklere...
-
- von Neumann
- Innlegg: 525
- Registrert: 03/10-2010 00:32
Videre går spørsmålet ut på å finne den fjerdederiverte til funksjonen h ved bruk av formelen, hvordan blir innsettingen nå?
Ultimate Mathematics
http://www.youtube.com/watch?v=Qjtetxrvu18
http://www.youtube.com/watch?v=Qjtetxrvu18
Bytt ut alle [tex]n[/tex] med 4.
Cube - mathematical prethoughts | @MatematikkFakta
Med forbehold om tullete feil. (både her og ellers)
Med forbehold om tullete feil. (både her og ellers)
-
- von Neumann
- Innlegg: 525
- Registrert: 03/10-2010 00:32
Det jeg egentlig mente som oppgaven sier altså å finne den fjerdederiverte ved å bruke følgende formel:FredrikM skrev:Bytt ut alle [tex]n[/tex] med 4.
[tex]D^{n}[f(x)g(x)]=\sum_{k=0}^{n} {n \choose k} D^{(n-k)}f(x)D^{(k)}g(x)[/tex]
Hvis jeg nå setter inn 4 istedenfor n så får jeg:
[tex]D^{4}[e^{x}sin{x}]=\sum_{k=0}^{4} {4 \choose k} D^{(4-k)}e^{x}D^{(k)}sin{x}[/tex]
og dermed skal man ha funnet den fjerdederiverte?
Ultimate Mathematics
http://www.youtube.com/watch?v=Qjtetxrvu18
http://www.youtube.com/watch?v=Qjtetxrvu18
Om du skriver ut summen der, er det enda bedre.
(f.eks er [tex]De^x= e^x[/tex] osv)
(f.eks er [tex]De^x= e^x[/tex] osv)
Cube - mathematical prethoughts | @MatematikkFakta
Med forbehold om tullete feil. (både her og ellers)
Med forbehold om tullete feil. (både her og ellers)
-
- Fibonacci
- Innlegg: 5648
- Registrert: 24/05-2009 14:16
- Sted: NTNU
forstår selv ikke helt hva de mener med [tex]D[/tex] og [tex]D^{4-k}[/tex]
Noen som kan forklare dette med teskje ?
Noen som kan forklare dette med teskje ?
"Å vite hva man ikke vet er og en slags allvitenhet" - Piet Hein
https://s.ntnu.no/Integralkokeboken
Lektor - Matematikk, Fysikk og Informatikk
https://s.ntnu.no/Integralkokeboken
Lektor - Matematikk, Fysikk og Informatikk
-
- von Neumann
- Innlegg: 525
- Registrert: 03/10-2010 00:32
Ja, det stemmer.
Ultimate Mathematics
http://www.youtube.com/watch?v=Qjtetxrvu18
http://www.youtube.com/watch?v=Qjtetxrvu18